対称行列の定義と性質～固有値と固有ベクトルの性質

固有方程式は $\lambda^2-7\lambda+6=0$ なので，固有値は $\lambda=1,6$

$\lambda=1$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$

$\lambda=6$ に対応する固有ベクトルは $\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$

固有値は実数で，2本の固有ベクトルは直交している！

$A$ の1つの固有値を $\lambda$，対応する固有ベクトルを $x$ とおく。

• 固有値，固有ベクトルの定義より $Ax=\lambda x$
• 両辺の共役転置を取ると $x^{*}A=\overline{\lambda}x^*$

ここで，二次形式 $x^*Ax$ について二通りの変形をする。

• 1つ目の式より，$x^*Ax=\lambda x^*x=\lambda\|x\|^2$
• 2つ目の式より，$x^*Ax=\overline{\lambda}x^*x=\overline{\lambda}\|x\|^2$

以上から $\|x\|^2(\lambda-\overline{\lambda})=0$

固有ベクトルの定義より $x$ は $0$ ベクトルではないので $\|x\|\neq 0$

よって $\lambda=\overline{\lambda}$ となる。つまり $\lambda$ は実数。

$A$ の固有値 $\lambda_1$ に対応する固有ベクトルを $x$，$\lambda_2$ に対応する固有ベクトルを $y$ とおく：

$Ax=\lambda_1x,\:Ay=\lambda_2y$

2つ目の式の共役転置を取る $y^{*}A=\lambda_2 y^{*}$

ここで，二次形式 $y^{*}Ax$ について2通りの変形をする。

• $x$ についての式より，$y^{*}Ax=\lambda_1y^{*}x$
• $y$ についての式より，$y^{*}Ax=\lambda_2y^{*}x$

よって，$y^{*}x(\lambda_1-\lambda_2)=0$

$\lambda_1\neq \lambda_2$ のとき $y^{*}x=0$ となり $x$ と $y$ は直交する。

行列 $A$ に対して $\dfrac{1}{2} (A+ A^{\top})$ は対称行列，$\dfrac{1}{2} (A- A^{\top})$ は交代行列である。

$$A = \dfrac{1}{2} (A+ A^{\top}) + \dfrac{1}{2} (A- A^{\top})$$ より題意は示された。