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対称行列の固有値と固有ベクトルの性質の証明

更新日時 2021/03/07

任意の実対称行列 AA について,

1.固有値は実数である

2.異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交する

対称行列の重要で美しい2つの性質の証明を解説します。

目次
  • 具体例

  • 固有値が実数であることの証明

  • 固有ベクトルが直交することの証明

具体例

証明の前にまずは具体例から。

固有値と固有ベクトルの定義,求め方については固有値,固有ベクトルの定義と具体的な計算方法を参照して下さい。

例題

A=(5222)A=\begin{pmatrix}5 &2\\2 & 2\end{pmatrix} の固有値と固有ベクトルを求めよ。

解答

固有方程式は λ27λ+6=0\lambda^2-7\lambda+6=0 なので,固有値は λ=1,6\lambda=1,6

λ=1\lambda=1 に対応する固有ベクトルは (12)\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}

λ=6\lambda=6 に対応する固有ベクトルは (21)\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}

固有値は実数で,二本の固有ベクトルは直交する!

固有値が実数であることの証明

証明

AA の一つの固有値を λ\lambda ,対応する固有ベクトルを xx とおく。

固有値,固有ベクトルの定義より Ax=λxAx=\lambda x

両辺の共役転置を取ると xA=λxx^{*}A=\overline{\lambda}x^*

ここで,二次形式 xAxx^*Ax について二通りの変形をする。

一つ目の式より,xAx=λxx=λx2x^*Ax=\lambda x^*x=\lambda\|x\|^2

二つ目の式より,xAx=λxx=λx2x^*Ax=\overline{\lambda}x^*x=\overline{\lambda}\|x\|^2

以上から x2(λλ)=0\|x\|^2(\lambda-\overline{\lambda})=0

固有ベクトルの定義より xx00 ベクトルではないので x0\|x\|\neq 0 よって λ=λ\lambda=\overline{\lambda} となる。つまり λ\lambda は実数。

補足
  • x\|x\|xx のノルム(長さ)。つまり各成分の二乗和のルート。
  • xx^*xx の共役転置。(Ax)=xA(Ax)^*=x^*A^*が成立する。実対称行列については A=AA^*=A

固有ベクトルが直交することの証明

証明

AA の固有値 λ1\lambda_1 に対応する固有ベクトルを xxλ2\lambda_2 に対応する固有ベクトルを yy とおく:

Ax=λ1x,Ay=λ2yAx=\lambda_1x,\:Ay=\lambda_2y

二つ目の式の共役転置を取る yA=λ2yy^{*}A=\lambda_2 y^{*}

ここで,二次形式 yAxy^{*}Ax について二通りの変形をする。

xx についての式より,yAx=λ1yxy^{*}Ax=\lambda_1y^{*}x

yy についての式より,yAx=λ2yxy^{*}Ax=\lambda_2y^{*}x

よって,yx(λ1λ2)=0y^{*}x(\lambda_1-\lambda_2)=0

λ1λ2\lambda_1\neq \lambda_2 のとき yx=0y^{*}x=0 となり xxyy は直交する。

注:この定理をベースに「対称行列は直交行列で対角化できる」という非常に重要な定理が導出されます。対称行列はいろいろなところに登場する&固有値,固有ベクトルに関して美しい理論があるために重宝します。

二つの定理の証明が似ているのも趣深いです。

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