行列のランク(rank)の８通りの同値な定義・性質

ランク（階数，rank）とは任意の（正方行列とは限らない）行列に対して定義される重要な量です。

ランクには同値な定義（性質）がたくさんあります。以下の1〜8のいずれか一つをランクの定義とすれば残りはランクの性質として導けます。

8つとも重要です。全て理解するのが理想ですが，まずは自分が親しみやすい定義を一つきちんと覚えましょう。

1． $A$ の正則（行列式が0でない）な小行列でサイズが最大なもののサイズ

例えば $A=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\2&4&1&3\\0&0&3&3\end{pmatrix}$ について，$2\times 2$ の部分行列の一つ $\begin{pmatrix} 2&0\\4&1\end{pmatrix}$ は正則ですが，$3\times 3$ の部分行列は全て非正則です。よって $\mathrm{rank}\:A=2$ です。

2． $A$ の一次独立な行ベクトルの最大本数

さっきの例：一行目 $(1,2,0,1)$ と二行目 $(2,4,1,3)$ は一次独立ですが，三行目 $(0,0,3,3)$ を加えると一次従属になる（二行目の $3$ 倍から一行目の $6$ 倍を引くと三行目になる）ので $\mathrm{rank}\:A=2$ です。

3． $A$ の一次独立な列ベクトルの最大本数

さっきの例：一列目 $\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ と三列目 $\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ は一次独立ですが，どの三列を選んでも一次従属になるので $\mathrm{rank}\:A=2$ です。

4．階段形にしたときに $0$ でない成分が残る行の数

階段形とは図のような行列です。任意の行列 $A$ に対して正則行列 $S$ をうまく取ってくれば $SA$ を階段形にできます。

さっきの例： $S=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\6&-3&1\end{pmatrix}$ とすれば $SA=\begin{pmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ となるので $\mathrm{rank}\:A=2$ です。

実際にランクを計算するときは4を使います。

5．ランク標準形にしたときに $1$ が並ぶ数

任意の行列 $A$ に対して正則行列 $S,T$ をうまく取ってくれば $SAT=\begin{pmatrix}I&O\\O&O\end{pmatrix}$ という形にできます（$I$ は適切なサイズの単位行列）。このときの $I$ のサイズ（一意に決まる）が $A$ のランクとなります。

さっきの例： $S=\begin{pmatrix}1&0&0\\-2&1&0\\6&-3&1\end{pmatrix}$，$T=\begin{pmatrix}1&0&-2&-1\\0&0&1&0\\0&1&0&-1\\0&0&0&1\end{pmatrix}$ とすれば $SAT=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$ となるので $\mathrm{rank}\:A=2$ です。

6． $\mathrm{dim\:(Im }\:A)$，つまり $A$ の像の次元

さっきの例： $A$ の像は実数 $a,b,c,d$ を用いて $\begin{pmatrix}a+2b+d\\2a+4b+c+3d\\3c+3d\end{pmatrix}$ と表される点の集合です。これは実は三次元空間内の二次元平面 ($6x-3y+z=0$で表される平面）を表しているので $\mathrm{rank}\:A=2$ です。

7． $A$ の $0$ でない特異値の数（$AA^{\top}$ の $0$ でない固有値の数）

注： $A$ の 「$0$ でない固有値の数」はランクと等しいとは限りません。例えば $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ の固有値は $0$ が2つ（つまり「$0$ でない固有値の数」は $0$）ですが，ランクは $1$ です。

8．以下の条件を満たす最小の $r$

条件： $2r$ 本の縦ベクトル $u_1,\cdots,u_r,v_1,\cdots,v_r$ が存在して $A=\displaystyle\sum_{k=1}^ru_kv^{\top}_k$ と書ける。

注： $u_kv^{\top}_k$ は縦ベクトルと横ベクトルの積なので行列です。

定義4を使ってランクを計算してみましょう。つまり，階段形にしたときに $0$ でない成分が残る行の数を計算します。

行基本変形は正則行列を左からかけることに対応するので，行基本変形を行なって階段形にできれば，ランクを求めることができます。

行列の基本変形の意味と応用（rank・行列式の計算）にも，ランクの求め方が載っています。合わせてご覧ください。

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