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argmax,argminの意味と例

更新日時 2021/03/10

maxf(x)\max f(x)f(x)f(x) の最大値

arg maxf(x)\mathop{\rm arg~max} f(x)f(x)f(x) を最大にする xx の集合

minf(x)\min f(x)f(x)f(x) の最小値

arg minf(x)\mathop{\rm arg~min} f(x)f(x)f(x) を最小にする xx の集合

maxとargmax,minとargminを混同する人が多いので違いをきちんと理解しておきましょう。

目次
  • max,minの意味と例

  • argmax,argminの意味と例

  • 凸関数のargminは凸集合

max,minの意味と例

arg max,arg min\mathop{\rm arg~max},\mathop{\rm arg~min} の前に max,min\max,\min という記号について。

max\max は最大値を表します。 max\max の下側に変数がとる値の範囲を書くことが多いです。同様に min\min は最小値を表します。

〜例〜

  • maxx{0,1}3x=3\displaystyle\max_{x\in \{0,1\}} 3x=3

  • maxxN1x=1\displaystyle\max_{x\in \mathbb{N}} \dfrac{1}{x}=1N\mathbb{N} は正の整数全体の集合です)

  • max0x6πsinx=1\displaystyle\max_{0\leq x\leq 6\pi} \sin x=1

  • minxx=0\displaystyle\min_{x}|x|=0 (定義域が明らかなときは動く変数のみ書くこともあります)

  • minx(x2+y2)=y2\displaystyle\min_{x}(x^2+y^2)=y^2

  • minx,y(x2+y2)=0\displaystyle\min_{x,y}(x^2+y^2)=0

argmax,argminの意味と例

arg maxf(x)\mathop{\rm arg~max} f(x)f(x)f(x) を最大にする xx の集合です。値ではなく集合です。 arg minf(x)\mathop{\rm arg~min} f(x) も同様です。

argument of the maximum(最大値を与える引数)の略です。 arg max\mathop{\rm arg~max} で一つの記号です。

〜例〜

  • arg maxx{0,1}3x={1}\mathop{\rm arg~max}\limits_{x\in\{0,1\}} 3x=\{1\}
  • arg max0x6πsinx={π2,52π,92π}\mathop{\rm arg~max}\limits_{0\leq x\leq 6\pi} \sin x=\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5}{2}\pi,\dfrac{9}{2}\pi\right\}
  • arg minxN1x=\mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in\mathbb{N}}\dfrac{1}{x}=\emptyset (最小値は存在しない→最小化する元の集合は空集合)

凸関数のargminは凸集合

おまけです。argminに関する定理を紹介します。

下に凸な関数のargminは凸集合(上に凸な関数のargmaxも凸集合)

多変数関数でも同様なので,一変数関数の場合のみ証明します。

証明

f(x)f(x) の定義域を SS とする。

p,qarg minxSf(x)p,q\in \mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in S} f(x) とする。

f(x)f(x) は凸関数なので,任意の 0λ10\leq \lambda \leq 1 なる λ\lambda に対して

λp+(1λ)qS\lambda p+(1-\lambda)q\in S であり,

λf(p)+(1λ)f(q)f(λp+(1λ)q)\lambda f(p)+(1-\lambda)f(q)\geq f(\lambda p+(1-\lambda)q) (*)を満たす。

一方,p,qarg minxSf(x)p,q\in \mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in S} f(x) より,

λf(p)λf(λp+(1λ)q)\lambda f(p)\leq \lambda f(\lambda p+(1-\lambda)q)

(1λ)f(q)(1λ)f(λp+(1λ)q)(1-\lambda)f(q)\leq (1-\lambda)f(\lambda p+(1-\lambda)q)

であり,この二つの不等式を加えると(*)の逆向きの不等式を得る。つまり,二つの不等式は等号で成立する。

よって,f(p)=f(λp+(1λ)q)f(p)=f(\lambda p+(1-\lambda)q) となり λp+(1λ)qarg minxSf(x)\lambda p+(1-\lambda)q\in \mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in S} f(x) を得る。よって arg minxSf(x)\mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in S} f(x) は凸集合。

argumentとaugmentって紛らわしいですよね。

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