argmax,argminの意味と例

max,minの意味と例

$\mathop{\rm arg~max},\mathop{\rm arg~min}$ の前に $\max,\min$ という記号について。

$\max$ は最大値を表します。 $\max$ の下側に変数がとる値の範囲を書くことが多いです。同様に $\min$ は最小値を表します。

〜例〜

• $\displaystyle\max_{x\in \{0,1\}} 3x=3$

• $\displaystyle\max_{x\in \mathbb{N}} \dfrac{1}{x}=1$ （$\mathbb{N}$ は正の整数全体の集合です）

• $\displaystyle\max_{0\leq x\leq 6\pi} \sin x=1$

• $\displaystyle\min_{x}|x|=0$ （定義域が明らかなときは動く変数のみ書くこともあります）

• $\displaystyle\min_{x}(x^2+y^2)=y^2$

• $\displaystyle\min_{x,y}(x^2+y^2)=0$

argmax,argminの意味と例

$\mathop{\rm arg~max} f(x)$ は $f(x)$ を最大にする $x$ の集合です。値ではなく集合です。 $\mathop{\rm arg~min} f(x)$ も同様です。

argument of the maximum(最大値を与える引数)の略です。 $\mathop{\rm arg~max}$ で一つの記号です。

〜例〜

• $\mathop{\rm arg~max}\limits_{x\in\{0,1\}} 3x=\{1\}$
• $\mathop{\rm arg~max}\limits_{0\leq x\leq 6\pi} \sin x=\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5}{2}\pi,\dfrac{9}{2}\pi\right\}$
• $\mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in\mathbb{N}}\dfrac{1}{x}=\emptyset$ （最小値は存在しない→最小化する元の集合は空集合）

凸関数のargminは凸集合

おまけです。argminに関する定理を紹介します。

多変数関数でも同様なので，一変数関数の場合のみ証明します。