argmax,argminの意味と例
: の最大値
: を最大にする の集合
: の最小値
: を最小にする の集合
maxとargmax,minとargminを混同する人が多いので違いをきちんと理解しておきましょう。
max,minの意味と例
argmax,argminの意味と例
凸関数のargminは凸集合
max,minの意味と例
の前に という記号について。
は最大値を表します。 の下側に変数がとる値の範囲を書くことが多いです。同様に は最小値を表します。
〜例〜
-
-
( は正の整数全体の集合です)
-
-
(定義域が明らかなときは動く変数のみ書くこともあります)
-
-
argmax,argminの意味と例
は を最大にする の集合です。値ではなく集合です。 も同様です。
argument of the maximum(最大値を与える引数)の略です。 で一つの記号です。
〜例〜
- (最小値は存在しない→最小化する元の集合は空集合)
凸関数のargminは凸集合
おまけです。argminに関する定理を紹介します。
下に凸な関数のargminは凸集合(上に凸な関数のargmaxも凸集合)
多変数関数でも同様なので,一変数関数の場合のみ証明します。
の定義域を とする。
とする。
は凸関数なので,任意の なる に対して
であり,
(*)を満たす。
一方, より,
であり,この二つの不等式を加えると(*)の逆向きの不等式を得る。つまり,二つの不等式は等号で成立する。
よって, となり を得る。よって は凸集合。
argumentとaugmentって紛らわしいですよね。