argmax,argminの意味と例

更新日時 2023/10/16

数学記号 $\mathop{\rm arg~max}$ および $\mathop{\rm arg~min}$ について解説します。 $\max$ （最大値）と $\mathop{\rm arg~max}$ （最大値を与える入力の集合）は混同しやすいのできちんと理解しましょう。 argmaxの意味

max の意味と例

$f(x)$ の最大値のことを $\max f(x)$ と書くことがあります。

例

$1-x^2$ の最大値は $1$ なので， $\max (1-x^2)=1$

$\max$ の下側に動く変数や範囲を明示することも多いです。

例

さきほどの例をもう少しきちんと書くと， $\displaystyle\max_{x\in\mathbb{R}}(1-x^2)=1$

ただし， $\mathbb{R}$ は実数全体の集合を表す。

argmax の意味と例

最大値を達成する値の集合を $\mathop{\rm arg~max} f(x)$ と書くことがあります。

例

$1-x^2$ の最大値 $1$ を達成するのは $x=0$ のときなので， $\mathop{\rm arg~max}(1-x^2)=\{0\}$

$\mathop{\rm arg~max}$ は argument of the maximum(最大値を与える引数)の略です。
$\mathop{\rm arg~max}$ で一つの記号です。
$\mathop{\rm arg~max}$ は集合です。この例だ $0$ という数ではなく「 $0$ という1つの要素からなる集合」です。

ここまでのまとめ

$\max$ は最大値， $\mathop{\rm arg~max}$ は最大値を与える値の集合
$\max$ は値， $\mathop{\rm arg~max}$ は集合

min と argmin

$\min$ と $\mathop{\rm arg~min}$ も同様です。

min と argmin の意味

$\min$ は最小値， $\mathop{\rm arg~min}$ は最小値を与える値の集合
$\min$ は値， $\mathop{\rm arg~min}$ は集合

argmax・argmin のいろいろな例

argmaxの例

$x$ が $0$ または $1$ のとき $3x$ の最大値は $3$ です： $\displaystyle\max_{x\in \{0,1\}} 3x=3$ 最大値を達成する $x$ は $1$ です： $\mathop{\rm arg~max}\limits_{x\in\{0,1\}} 3x=\{1\}$
$x$ が $0$ 以上 $6\pi$ 以下を動くとき， $\sin x$ の最大値は $1$ です： $\displaystyle\max_{0\leq x\leq 6\pi} \sin x=1$ 最大値を達成する $x$ は3つあります： $\mathop{\rm arg~max}\limits_{0\leq x\leq 6\pi} \sin x=\left\{\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5}{2}\pi,\dfrac{9}{2}\pi\right\}$

argminの例

$x$ が正の整数全体を動くとき， $\dfrac{1}{x}$ の最小値は存在しません。「最小化する元の集合は空集合」と考えます： $\mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in\mathbb{N}}\dfrac{1}{x}=\emptyset$

凸関数のargminは凸集合

おまけです。 $\mathop{\rm arg~max}$ および $\mathop{\rm arg~min}$ に関する定理を紹介します。

定理

下に凸な関数の $\mathop{\rm arg~min}$ は凸集合（上に凸な関数の $\mathop{\rm arg~max}$ も凸集合）

多変数関数でも同様なので，一変数関数の場合のみ証明します。

証明

$f(x)$ の定義域を $S$ とする。 $p,q\in \mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in S} f(x)$ とする。

$f(x)$ は凸関数なので，任意の $0\leq \lambda \leq 1$ なる $\lambda$ に対して $\lambda p+(1-\lambda)q\in S$ であり， $\lambda f(p)+(1-\lambda)f(q)\geq f(\lambda p+(1-\lambda)q)\:\:\cdots(*)$

一方， $p,q\in \mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in S} f(x)$ より， $\lambda f(p)\leq \lambda f(\lambda p+(1-\lambda)q)$ $(1-\lambda)f(q)\leq (1-\lambda)f(\lambda p+(1-\lambda)q)$

であり，この二つの不等式を加えると $(*)$ の逆向きの不等式を得る。つまり，二つの不等式は等号で成立する。

よって， $f(p)=f(\lambda p+(1-\lambda)q)$ となり $\lambda p+(1-\lambda)q\in \mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in S} f(x)$ を得る。つまり， $\mathop{\rm arg~min}\limits_{x\in S} f(x)$ は凸集合。