双曲線関数の加法定理とその証明

更新日時 2021/03/07
双曲線関数の加法定理

  1. sinh⁡(x+y)=sinh⁡xcosh⁡y+cosh⁡xsinh⁡y\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y

  2. sinh⁡(x−y)=sinh⁡xcosh⁡y−cosh⁡xsinh⁡y\sinh (x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y

  3. cosh⁡(x+y)=cosh⁡xcosh⁡y+sinh⁡xsinh⁡y\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y

  4. cosh⁡(x−y)=cosh⁡xcosh⁡y−sinh⁡xsinh⁡y\cosh (x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y

  5. tanh⁡(x+y)=tanh⁡x+tanh⁡y1+tanh⁡xtanh⁡y\tanh (x+y)=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}

  6. tanh⁡(x−y)=tanh⁡x−tanh⁡y1−tanh⁡xtanh⁡y\tanh (x-y)=\dfrac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}

ただし，cosh⁡x=ex+e−x2\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}，sinh⁡x=ex−e−x2\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}，tanh⁡x=sinh⁡xcosh⁡x\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x } です。→双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の意味・性質・楽しい話題まとめ

三角関数の加法定理と形が似ていますが，符号が微妙に違うので注意して下さい。

目次

  • 単純計算による証明

  • 三角関数の加法定理を用いた証明

単純計算による証明

1の証明

右辺は，

(ex+e−x2)(ey−e−y2)+(ex−e−x2)(ey+e−y2)=2ex+y−2e−x−y4\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}\right)+\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}\right)\\ =\dfrac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}

となり左辺と一致する。

3の証明

右辺は，

(ex+e−x2)(ey+e−y2)+(ex−e−x2)(ey−e−y2)=2ex+y+2e−x−y4\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}\right)\\ =\dfrac{2e^{x+y}+2e^{-x-y}}{4}

となり左辺と一致する。

5の証明

1，3と tanh⁡(x+y)=sinh⁡(x+y)cosh⁡(x+y)\tanh(x+y)=\dfrac{\sinh (x+y)}{\cosh (x+y)} を使うと 5 を得る。

2,4,6の証明

1，3，5で y→−yy\to -y とすればそれぞれ 2，4，6 になる。

ただし，sinh⁡(−y)=−sinh⁡y\sinh(-y)=-\sinh y ，cosh⁡(−y)=cosh⁡y\cosh(-y)=\cosh y ，tanh⁡(−y)=−tanh⁡y\tanh(-y)=-\tanh y に注意。

三角関数の加法定理を用いた証明

かなり大げさですが，以下の2つを認めることでも導出できます。

  • 任意の複素数 zz に対して指数関数，三角関数が定義され，以下が成立する： cos⁡z=eiz+e−iz2\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}，sin⁡z=eiz−e−iz2i\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} （zz が実数の場合はオイラーの公式から分かる）

  • 任意の複素数に対して三角関数の加法定理が成立する。

証明

1つめの前提知識の式から，

cos⁡iz=cosh⁡z\cos iz=\cosh z

sin⁡iz=−1isinh⁡z=isinh⁡z\sin iz=-\dfrac{1}{i}\sinh z=i\sinh z

1 を証明する（他も同様）。

三角関数の加法定理：

sin⁡(z+w)=sin⁡zcos⁡w+cos⁡zsin⁡w\sin (z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w

において z=ixz=ix，w=iyw=iy とおくと，

isinh⁡(x+y)=isinh⁡xcosh⁡y+(cosh⁡x)isinh⁡yi\sinh (x+y)=i\sinh x\cosh y+(\cosh x)i\sinh y

となり1を得る。

三角関数と双曲線関数は複素数を通じてつながっています。

この記事の編集者
マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！

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