双曲線関数の加法定理とその証明

更新日時 2021/03/07
双曲線関数の加法定理
  1. sinh(x+y)=sinhxcoshy+coshxsinhy\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y

  2. sinh(xy)=sinhxcoshycoshxsinhy\sinh (x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y

  3. cosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhy\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y

  4. cosh(xy)=coshxcoshysinhxsinhy\cosh (x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y

  5. tanh(x+y)=tanhx+tanhy1+tanhxtanhy\tanh (x+y)=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}

  6. tanh(xy)=tanhxtanhy1tanhxtanhy\tanh (x-y)=\dfrac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}

ただし,coshx=ex+ex2\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}sinhx=exex2\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}tanhx=sinhxcoshx\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x } です。→双曲線関数の意味・性質・楽しい話題まとめ

三角関数の加法定理と形が似ていますが,符号が微妙に違うので注意して下さい。

目次
  • 単純計算による証明

  • 三角関数の加法定理を用いた証明

単純計算による証明

1の証明

右辺は,

(ex+ex2)(eyey2)+(exex2)(ey+ey2)=2ex+y2exy4\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}\right)+\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}\right)\\ =\dfrac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}

となり左辺と一致する。

3の証明

右辺は,

(ex+ex2)(ey+ey2)+(exex2)(eyey2)=2ex+y+2exy4\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}\right)\\ =\dfrac{2e^{x+y}+2e^{-x-y}}{4}

となり左辺と一致する。

5の証明

1,3と tanh(x+y)=sinh(x+y)cosh(x+y)\tanh(x+y)=\dfrac{\sinh (x+y)}{\cosh (x+y)} を使うと 5 を得る。

2,4,6の証明

1,3,5で yyy\to -y とすればそれぞれ 2,4,6 になる。

ただし,sinh(y)=sinhy\sinh(-y)=-\sinh ycosh(y)=coshy\cosh(-y)=\cosh ytanh(y)=tanhy\tanh(-y)=-\tanh y に注意。

三角関数の加法定理を用いた証明

かなり大げさですが,以下の2つを認めることでも導出できます。

  • 任意の複素数 zz に対して指数関数,三角関数が定義され,以下が成立する: cosz=eiz+eiz2\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}sinz=eizeiz2i\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}zz が実数の場合はオイラーの公式から分かる)

  • 任意の複素数に対して三角関数の加法定理が成立する。

証明

1つめの前提知識の式から,

cosiz=coshz\cos iz=\cosh z

siniz=1isinhz=isinhz\sin iz=-\dfrac{1}{i}\sinh z=i\sinh z

1 を証明する(他も同様)。

三角関数の加法定理:

sin(z+w)=sinzcosw+coszsinw\sin (z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w

において zixz\to ixwiyw\to iy とおくと,

isinh(z+w)=isinzcosw+(cosz)isinwi\sinh (z+w)=i\sin z\cos w+(\cos z)i\sin w

となり1を得る。

三角関数と双曲線関数は複素数を通じてつながっています。