双曲線関数の加法定理とその証明

更新 2021/03/07

双曲線関数の加法定理

$\sinh (x+y)=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y$
$\sinh (x-y)=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y$
$\cosh (x+y)=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y$
$\cosh (x-y)=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y$
$\tanh (x+y)=\dfrac{\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}$
$\tanh (x-y)=\dfrac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}$

ただし， $\cosh x=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ ， $\sinh x=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}$ ， $\tanh x=\dfrac{\sinh x}{\cosh x }$ です。→双曲線関数(sinh,cosh,tanh)の意味・性質・楽しい話題まとめ

三角関数の加法定理と形が似ていますが，符号が微妙に違うので注意して下さい。

単純計算による証明

1の証明

右辺は，

$\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}\right)+\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}\right)\\ =\dfrac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}$

となり左辺と一致する。

3の証明

右辺は，

$\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}\right)\\ =\dfrac{2e^{x+y}+2e^{-x-y}}{4}$

となり左辺と一致する。

5の証明

1，3と $\tanh(x+y)=\dfrac{\sinh (x+y)}{\cosh (x+y)}$ を使うと 5 を得る。

2,4,6の証明

1，3，5で $y\to -y$ とすればそれぞれ 2，4，6 になる。

ただし， $\sinh(-y)=-\sinh y$ ， $\cosh(-y)=\cosh y$ ， $\tanh(-y)=-\tanh y$ に注意。

三角関数の加法定理を用いた証明

かなり大げさですが，以下の2つを認めることでも導出できます。

任意の複素数 $z$ に対して指数関数，三角関数が定義され，以下が成立する： $\cos z=\dfrac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$ ， $\sin z=\dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ （ $z$ が実数の場合はオイラーの公式から分かる）
任意の複素数に対して三角関数の加法定理が成立する。

証明

1つめの前提知識の式から，

$\cos iz=\cosh z$

$\sin iz=-\dfrac{1}{i}\sinh z=i\sinh z$

1 を証明する（他も同様）。

三角関数の加法定理：

$\sin (z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w$

において $z=ix$ ， $w=iy$ とおくと，

$i\sinh (x+y)=i\sinh x\cosh y+(\cosh x)i\sinh y$

となり1を得る。

三角関数と双曲線関数は複素数を通じてつながっています。

この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！