双曲線関数の加法定理とその証明

右辺は，

$\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}\right)+\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}\right)\\ =\dfrac{2e^{x+y}-2e^{-x-y}}{4}$

となり左辺と一致する。

右辺は，

$\left(\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y+e^{-y}}{2}\right)+\left(\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\right)\left(\dfrac{e^y-e^{-y}}{2}\right)\\ =\dfrac{2e^{x+y}+2e^{-x-y}}{4}$

となり左辺と一致する。

1，3と $\tanh(x+y)=\dfrac{\sinh (x+y)}{\cosh (x+y)}$ を使うと 5 を得る。

1，3，5で $y\to -y$ とすればそれぞれ 2，4，6 になる。

ただし，$\sinh(-y)=-\sinh y$ ，$\cosh(-y)=\cosh y$ ，$\tanh(-y)=-\tanh y$ に注意。

1つめの前提知識の式から，

$\cos iz=\cosh z$

$\sin iz=-\dfrac{1}{i}\sinh z=i\sinh z$

1 を証明する（他も同様）。

三角関数の加法定理：

$\sin (z+w)=\sin z\cos w+\cos z\sin w$

において $z=ix$，$w=iy$ とおくと，

$i\sinh (x+y)=i\sinh x\cosh y+(\cosh x)i\sinh y$

となり1を得る。