行列の基本変形の意味と応用（rank・行列式の計算）

$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$ に左から $P(1,3)=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}$ をかけると， $$\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7&8&9\\4&5&6\\1&2&3\end{pmatrix}$$ となり1行目と3行目が交換された。

$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$ に左から $P(3;2)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$ をかけると， $$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\14&16&18\end{pmatrix}$$ となり3行目が2倍された。

$\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}$ に左から $P(3,1;-2)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}$ をかけると， $$\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\5&4&3\end{pmatrix}$$ となり1行目の2倍が3行目から引かれた。