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行列の基本変形とrank,行列式の求め方

更新日時 2021/03/07

行列の基本変形の意味とその応用(rank,行列式の求め方)について解説します。

目次
  • 行基本変形とは

  • 行基本変形と正則行列

  • 行基本変形でrankを求める

  • 行基本変形で行列式を求める

  • 列基本変形とは

行基本変形とは

以下の三つの操作を行基本変形と言います。

操作1: ii 行目と jj 行目を交換する

操作2: ii 行目を cc 倍する(c0c\neq 0

操作3: jj 行目の cc 倍を ii 行目に加える

行基本変形と正則行列

行基本変形は正則行列を左からかけることに対応しています。操作1から順に説明していきます。

操作1

単位行列の ii 行と jj 行を交換した行列 P(i,j)P(i,j) を左からかけることに対応しています。

例えば,P(2,3)=(100001010)P(2,3)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}3×33\times 3 の行列 (a11a12a13a21a22a23a31a32a33)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} に左からかけると (a11a12a13a31a32a33a21a22a23)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{pmatrix} となり2行目と3行目が交換されました。

なお,P(i,j)P(i,j) の行列式は 1-1 なので正則です。

操作2

単位行列の iiii 成分を cc とした行列 P(i;c)P(i;c) を左からかけることに対応しています。

例えば,P(2;6)=(100060001)P(2;6)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&6&0\\0&0&1\end{pmatrix}(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} に左からかけると (a11a12a136a216a226a23a31a32a33)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\6a_{21}&6a_{22}&6a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} となり2行目が 66 倍されました。

なお,P(i;c)P(i;c) の行列式は cc なので正則です。

操作3

単位行列の ijij 成分を cc とした行列 P(i,j;c)P(i,j;c) を左からかけることに対応しています。

例えば,P(2,3;6)=(100016001)P(2,3;6)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&6\\0&0&1\end{pmatrix}(a11a12a13a21a22a23a31a32a33)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} に左からかけると (a11a12a13a21+6a31a22+6a32a23+6a33a31a32a33)\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}+6a_{31}&a_{22}+6a_{32}&a_{23}+6a_{33}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} となり3行目の 66 倍が2行目に足されました。

なお,P(i,j;c)P(i,j;c) の行列式は 11 なので正則です。

行基本変形でrankを求める

行列の階段形

与えられた行列に対して行基本変形を繰り返すことで(つまり適当な正則行列を左からかけることで)図のような階段形にすることができます。

(正則行列をかけてもrankは変わらないので)この階段形の行列のrankはもとの行列のrankと一致します。そして階段形の行列のrankは一瞬で求まります(00 でない成分がある行の数)。

行基本変形で行列式を求める

与えられた正方行列 AA に対して行基本変形を繰り返すことで(つまり適当な正則行列 SS を左からかけることで)階段形 RR上三角行列)にすることができます。

つまり,SA=RSA=R です。

よって,detSdetA=detR\det S\det A=\det R であり,

  • detR\det R は対角成分の積で簡単に求まる
  • detS\det S も変形の過程を見れば分かる(操作2の cc の積)

ので detA\det A が求まります。

列基本変形とは

行の場合と同様に,以下の三つの操作を列基本変形と言います。

操作1: ii 列目と jj 列目を交換する

操作2: ii 列目を cc 倍する(c0c\neq 0

操作3: jj 列目の cc 倍を ii 列目に加える

列基本変形は正則行列を右からかけることに対応しています。(行基本変形の場合と同様に説明できます)

僕は4×4以上の行列式やrankを手計算で求めるのがいやなので計算機を使います。

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