四元数と三次元空間における回転

高校数学で実数→複素数と，数を扱う範囲が広がりましたが，さらに複素数をパワーアップしたのが四元数（クォータニオン）です。具体的には

$q=a+bi+cj+dk$（$a,\:b,\:c,\:d$ は実数）

という形で表される数を四元数と言います。

ただし，$i^2=j^2=k^2=-1,$

$\:ij=k,\:jk=i,\:ki=j,$

$\:ji=-k,\:kj=-i,\:ik=-j$

です。一般の四元数の積は上式と分配法則を満たすように定義されます（要するに和と積が複素数と同じノリで定義されている）。

なぜ四元数を考えるのか？に対する私なりの答えです。

この記事では2の理解を目標に解説します。そのために，まずは四元数の基本的な性質を見ていきます。

• 四元数のノルム： $\|q\|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$

• 共役な四元数： $\overline{q}=a-bi-cj-dk$

• 逆数（逆元）： $q^{-1}q=qq^{-1}=1$ となる元 $q^{-1}$
  具体的には $q^{-1}=\dfrac{\overline{q}}{\|q\|^2}$ とすればよい。

• 四元数は積に関して交換法則が成立しない，
  例えば $ij=k,\:ji=-k$ となっていることから分かります。

• 四元数は結合法則を満たす。
  $q_1(q_2q_3)=(q_1q_2)q_3$ は頑張って計算すれば確認できます。

• 積の共役は共役の積（ただし順番逆転）
  つまり，$\overline{q_1\:q_2}=\overline{q_2}\:\overline{q_1}$ です。これも計算で証明できます。

ここからいよいよ回転の話です。

まず，三次元空間中の回転を「回転軸と回転角度」を決めることで指定します。回転軸の方向ベクトルを $\overrightarrow{u}=(u_x,u_y,u_z)$ とおきます（ただし $|\overrightarrow{u}|=1$ となるように正規化したものを使う）。

次に回転角度ですが，$\overrightarrow{u}$ の向きに右ねじが進む向きに $\theta$ だけ回転させる操作を考えます。

そして，この回転に対応する四元数を以下のように定めます：

$q=\cos\dfrac{\theta}{2}+(u_xi+u_yj+u_zk)\sin\dfrac{\theta}{2}$

このとき以下の素晴らしい定理が成立します！

計算がやや複雑なので証明は省略します。

四元数を使うと三次元空間内での計算が楽！ということがお分かりいただけたかと思います。

さらに回転の合成が四元数の積に対応していることを説明します。