行列が正則であることの意味と5つの条件

$A$ の行列式を計算すると，

$1\times 3-2\times 1=1$

となり，$\det A\neq 0$ なので $A$ は正則

積の行列式は行列式の積と等しいので $AB=I$ となるとき，

$\det A\det B=\det I=1$

よって $\det A\neq 0$

$\det A\neq 0$ のとき，$B=\dfrac{\tilde A}{\det A}$

（ただし $\tilde A$ は $A$ の余因子行列，つまり $ij$ 成分が「$A$ から $j$ 行目と $i$ 列目を除いた行列の行列式に $(-1)^{i+j}$ をかけたもの」である行列）

とおくと，$AB=BA=I$ となることが確認できる（→補足）。

行列式が $0$ でない行列 $S,T$ をうまく取ってくると

$SAT=\begin{pmatrix}I&O\\O&O\end{pmatrix}$

という形にできる（ランク標準形）。 $I$ の部分の行数（列数）がランクである。→行列のランクの意味（８通りの同値な定義）

また，積の行列式は行列式の積と等しいので

$\det S\det A\det T=\det \begin{pmatrix}I&O\\O&O\end{pmatrix}$

となる。よって，$\det A\neq 0$ であることと $A$ のランクが $n$ であること（右辺の行列が単位行列になる）は同値。

$3 \iff 4$の証明です。 次元定理より，$\mathrm{rank}\:A=n-\mathrm{dim}(\mathrm{Ker} A)$

よって，$\mathrm{rank}\: A=n$ であることと $\mathrm{Ker}\:A$ の次元が $0$ であることは同値。

$2 \iff 5$の証明です。

$A$ の固有値を $\lambda_1,\cdots,\lambda_n$ とすると，

$\det A=\lambda_1\cdots \lambda_n$ である（→補足）。

（行列式は固有値の積）

よって $\det A\neq 0$ と，全ての $A$ の固有値が $0$ でないことは同値。