次元定理の意味，具体例，証明

• $A$ は $2\times 3$ 行列である（$n=3$）

• $A$ の2本の行ベクトル：$(1,2,3)$ と $(-2,-4,-6)$ は一次従属なので $\mathrm{rank}\:A=1$

• 最後に $A$ のカーネルについて考える。

$\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ に対して

$x\in \mathrm{Ker} \:A$

$\iff A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{0}$

$\iff x+2y+3z=0$ かつ $-2x-4y-6z=0$

$\iff x+2y+3z=0$

この条件を満たす $\overrightarrow{x}$ たちのなす空間は2次元である（$xyz$ 空間で平面を表す）。

よって，$\dim(\mathrm{Ker}\:A)=2$

以上より，$$\mathrm{rank}\:A+\dim (\mathrm{Ker}\:A)=3$$ となり次元定理が成立している。

$\mathrm{Ker\:A}$ の基底を $a_1,a_2,\dots a_s$ とする(*)。

さらに，そこにベクトル $b_1,b_2,\dots, b_{n-s}$ を追加して $n$ 次元空間 $\mathbb{R}^n$ の基底となるようにする。

$\dim (\mathrm{Ker}\:A)=s$ であるので，$\dim (\mathrm{Im}\:A)=n-s$ を証明すればよい。

そのためには，$Ab_1,Ab_2,\dots ,Ab_{n-s}$ が $\mathrm{Im}\: A$ の基底であることを示せば十分（ここまでが重要，以下作業）。

・ $Ab_1,Ab_2,\dots ,Ab_{n-s}$ が $\mathrm{Im}\:A$ を張ることの証明

$x\in \mathrm{Im}\: A$ のとき，ある $$y=c_1a_1+\cdots +c_sa_s+d_1b_1+\cdots +d_{n-s}b_{n-s}$$ が存在して $Ay=x$ である。 これと，$a_i$ たちが $\mathrm{Ker}\:A$ の要素であることから $$A(d_1b_1+\cdots +d_{n-s}b_{n-s})=x$$ となる。つまり，$$x=d_1Ab_1+\cdots +d_{n-s}Ab_{n-s}$$ となり，$x$ は $Ab_1,Ab_2,\dots ,Ab_{n-s}$ の線形結合で表せる。

・ $Ab_1,Ab_2,\cdots ,Ab_{n-s}$ が一次独立であることの証明 $$c_1Ab_1+c_2Ab_2+\cdots +c_{n-s}Ab_{n-s}=0$$ のとき， $$A(c_1b_1+c_2b_2+\cdots +c_{n-s}b_{n-s})=0$$ よって，$$c_1b_1+c_2b_2+\cdots +c_{n-s}b_{n-s}\in \mathrm{Ker A}$$

$c_1=c_2=\cdots =c_{n-s}=0$ でないと(*)に矛盾する。