e^xのマクローリン展開，三角関数との関係

$e^x$ の高階導関数

マクローリン展開のための準備です。

解答

（1）$e^x$ を微分しても $e^x$ のままである。よって，何回微分しても $e^x$ のままである：

$(e^x)^{(n)}=e^x$

（2）$a^x$ を微分すると $a^x\log a$ である。→指数関数y=a^xの微分公式の4通りの証明

よって，$(a^x)^{(n)}=a^x(\log a)^n$

$e^x$ のマクローリン展開

$e^x$ はマクローリン展開の最も簡単で重要な例です！

先述の結果により $f(x)=e^x$ の $x=0$ での導関数の値は常に $1$ です。よって，$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$

となります。

なお，収束半径は無限大です。

複素数の指数関数

指数関数のマクローリン展開の応用として，複素数 $z$ に対する指数関数 $e^z$ について考えてみます。

・1と2は同値であることが分かります（後述）！

・普通は1を複素指数関数の定義とし，そこから2を導出して「指数関数と三角関数に美しい関係がある，素晴らしいね！」って言います。

ただし，複素指数関数とオイラーの公式ではマクローリン展開を知らない人でも楽しめるように2が複素指数関数の定義だという強引な説明をしました。

指数関数と三角関数の美しい関係

1と2が同値であることを証明します。

注：指数法則

$(1+z_1+\dfrac{z_1^2}{2!}+\cdots)(1+z_2+\dfrac{z_2^2}{2!}+\cdots)\\ =1+(z_1+z_2)+\dfrac{(z_1+z_2)^2}{2!}+\dfrac{(z_1+z_2)^3}{3!}+\cdots$

の確認は，練習問題にどうぞ。