e^xのマクローリン展開，三角関数との関係

更新日時 2021/03/07

指数関数のマクローリン展開

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots$

指数関数 $e^x$ の高階微分，マクローリン展開（ $x=0$ でのテイラー展開），指数関数と三角関数のおもしろい関係について解説します。

$e^x$ の高階導関数

マクローリン展開のための準備です。指数関数の高階微分を計算してみましょう。

問題

$y=e^x$ の $n$ 階導関数を求めよ。

解答

$e^x$ を微分しても $e^x$ のままである。よって，何回微分しても $e^x$ のままである。

つまり， $n$ 階微分は $(e^x)^{(n)}=e^x$

ちなみに，より一般に指数関数 $y=a^x\:(a > 0)$ の $n$ 階導関数は， $(a^x)^{(n)}=a^x(\log a)^n$ になります。 →指数関数y=a^xの微分公式の4通りの証明

$e^x$ のマクローリン展開

$e^x$ はマクローリン展開の最も簡単で重要な例です！

マクローリン展開の公式

多くの関数 $f(x)$ について， $f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots$

マクローリン展開の大雑把な説明はマクローリン展開を参照してください。
もう少し正確な説明はテイラーの定理の例と証明を参照してください。

上記をもとに，指数関数 $e^x$ をマクローリン展開してみます。

指数関数のマクローリン展開の導出

さきほど計算したように， $f(x)=e^x$ の $x=0$ での導関数の値は常に $1$

よって，

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots\\ =\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{x^k}{k!}$

この等式は，すべての実数 $x$ について成立します（収束半径は無限大で，剰余項は $0$ に収束します）。

複素数の指数関数

指数関数のマクローリン展開の応用として，複素数 $z$ に対する指数関数 $e^z$ について考えてみます。

複素数の指数関数の定義

1．マクローリン展開による定義（解析接続）：

$1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\cdots$ の $x$ に複素数 $z$ を代入したものを $e^z$ とする。

2．実三角関数による定義：

$z=a+bi\:(a,b$ は実数)に対して $e^z=e^a(\cos b+i\sin b)$ とする。

1と2は同値であることが分かります（後述）！
普通は1を複素指数関数の定義とし，そこから2を導出して「指数関数と三角関数に美しい関係がある，素晴らしいね！」と言います。
ただし，オイラーの公式と複素指数関数ではマクローリン展開を知らない人でも楽しめるように2が複素指数関数の定義だという強引な説明をしました。

指数関数と三角関数の美しい関係

1と2が同値であることを証明します。まず， $z$ の実部が $0$ のときについて証明します。

証明（zの実部が0の場合）

1の表現からスタートして変形していく

$e^{bi}=1+bi+\dfrac{(bi)^2}{2!}+\dfrac{(bi)^3}{3!}+\dfrac{(bi)^4}{4!}+\cdots\\ =1-\dfrac{b^2}{2!}+\dfrac{b^4}{4!}-\dfrac{b^6}{6!}+\cdots\\ +i(b-\dfrac{b^3}{3!}+\dfrac{b^5}{5!}-\dfrac{b^7}{7!}+\cdots)\\ =\cos b+i\sin b$

となり2の表現と一致する。

ただし，最後の変形はサインとコサインのマクローリン展開を用いました：

$\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$
$\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$

詳細は，→sinとcosのn階微分とマクローリン展開

次は，任意の複素数について，1と2が同値であることを証明します。

証明（一般のzについて）

1の定義から計算すると，実数の場合と同じように指数法則が成立することが導出できる（→補足）：

$e^{z_1+z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$

$z_1=a,z_2=bi$ とすると

$e^{a+bi}=e^ae^{bi}=e^a(\cos b+i\sin b)$

（最後の等号は実部が $0$ の場合の結果を使った）となり2の表現と一致した。

補足：指数関数の定義と二項定理を使って計算していきます。

$e^{z_1+z_2}\\ =\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(z_1+z_2)^k}{k!}\\ =\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\sum_{t=0}^k{}_k\mathrm{C}_tz_1^tz_2^{k-t}}{k!}\\ =\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}\sum_{t=0}^k\dfrac{z_1^tz_2^{k-t}}{t!(k-t)!}\\ =\displaystyle\sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}\dfrac{z_1^u}{u!}\dfrac{z_2^v}{v!}$