e^xのマクローリン展開，三角関数との関係

マクローリン展開のための準備です。指数関数の高階微分を計算してみましょう。

ちなみに，より一般に指数関数 $y=a^x\:(a > 0)$ の $n$ 階導関数は，$(a^x)^{(n)}=a^x(\log a)^n$ になります。 →指数関数y=a^xの微分公式の4通りの証明

$e^x$ はマクローリン展開の最も簡単で重要な例です！

• マクローリン展開の大雑把な説明は マクローリン展開 を参照してください。
• もう少し正確な説明は テイラーの定理とテイラー展開～例と証明 を参照してください。

上記をもとに，指数関数 $e^x$ をマクローリン展開してみます。

この等式は，すべての実数 $x$ について成立します（収束半径は無限大で，剰余項は $0$ に収束します）。

指数関数のマクローリン展開の応用として，複素数 $z$ に対する指数関数 $e^z$ について考えてみます。

• 1と2は同値であることが分かります（後述）！

• 普通は1を複素指数関数の定義とし，そこから2を導出して「指数関数と三角関数に美しい関係がある，素晴らしいね！」と言います。

• ただし，オイラーの公式と複素指数関数ではマクローリン展開を知らない人でも楽しめるように2が複素指数関数の定義だという強引な説明をしました。

1と2が同値であることを証明します。まず，$z$ の実部が $0$ のときについて証明します。

ただし，最後の変形はサインとコサインのマクローリン展開を用いました：

• $\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots$
• $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots$

詳細は，→sinとcosのn階微分とマクローリン展開

次は，任意の複素数について，1と2が同値であることを証明します。

補足：指数関数の定義と二項定理を使って計算していきます。

$$\begin{aligned} &e^{z_1+z_2}\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{(z_1+z_2)^k}{k!}\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{\sum_{t=0}^k{}_k\mathrm{C}_tz_1^tz_2^{k-t}}{k!}\\ &= \sum_{k=0}^{\infty}\sum_{t=0}^k\dfrac{z_1^tz_2^{k-t}}{t!(k-t)!}\\ &= \sum_{u=0}^{\infty}\sum_{v=0}^{\infty}\dfrac{z_1^u}{u!}\dfrac{z_2^v}{v!} \end{aligned}$$

ここで，シグマを分解できる（※）ので，上式は

$$\left(\sum_{u=0}^{\infty}\dfrac{z_1^u}{u!}\right)\left(\sum_{v=0}^{\infty}\dfrac{z_2^v}{v!}\right)=e^{z_1}e^{z_2}$$

※有限和のときはシグマ計算を機械的に行うための３つの公式の(3)で述べたように分解できます。無限和でも，分解後の2つの級数が絶対収束するなら分解できます。