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sinとcosのn階微分とマクローリン展開

更新日時 2021/03/07

sinx=xx33!+x55!x77!+\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots

cosx=1x22!+x44!x66!+\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots

sinとcosのn階微分を求める問題を解説し,応用例として三角関数のマクローリン展開を導出します。

目次
  • sinとcosの高階導関数

  • sinのマクローリン展開

  • cosのマクローリン展開

sinとcosの高階導関数

マクローリン展開するために,高階導関数を求めます。三角関数の nn 階微分を求める問題は高校数学の基本的な問題です。

問題

(1)y=sinxy=\sin xnn 階導関数を求めよ。

(2)y=cosxy=\cos xnn 階導関数を求めよ。

解答

(1)sinx\sin x を何回も微分していくと,cosx,sinx,cosx,sinx\cos x,-\sin x,-\cos x,\sin x となり四回でもとの関数に戻ってくる。よって,nn 階導関数は,

(sinx)(n)={cosxn=1,5,9,sinxn=2,6,10,cosxn=3,7,11,sinxn=4,8,12,(\sin x)^{(n)}=\begin{cases}\cos x&n=1,5,9,\cdots\\-\sin x&n=2,6,10,\cdots\\-\cos x&n=3,7,11,\cdots\\\sin x&n=4,8,12,\cdots\end{cases}

(2)cosx\cos x も同じく四回微分するともとの関数に戻ってくる。 nn 階導関数は,

(cosx)(n)={sinxn=1,5,9,cosxn=2,6,10,sinxn=3,7,11,cosxn=4,8,12,(\cos x)^{(n)}=\begin{cases}-\sin x&n=1,5,9,\cdots\\-\cos x&n=2,6,10,\cdots\\\sin x&n=3,7,11,\cdots\\\cos x&n=4,8,12,\cdots\end{cases}

三角関数を微分すると位相が90度進むことに注意すると場合分けなしで書けます!

別解

(1)(sinx)(n)=sin(x+πn2)(\sin x)^{(n)}=\sin (x+\dfrac{\pi n}{2})

(2)(cosx)(n)=cos(x+πn2)(\cos x)^{(n)}=\cos (x+\dfrac{\pi n}{2})

sinのマクローリン展開

ここから教科書範囲外です。マクローリン展開(x=0x=0 でのテイラー展開)は x=0x=0 での nn 階導関数の値をもとに以下のように計算することができます(→マクローリン展開):

f(x)=f(0)+f(0)x+f(0)2!x2+f(3)(0)3!x3+f(4)(0)4!x4+f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f^{(3)}(0)}{3!}x^3+\dfrac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4+\cdots

さきほどの結果により f(x)=sinxf(x)=\sin xx=0x=0 での導関数の値は(f(0)f(0) からスタートして)0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,\cdots と繰り返していくので,

sinx=xx33!+x55!x77!+\sin x=x-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^5}{5!}-\dfrac{x^7}{7!}+\cdots

となります。

sinx\sin x は原点付近では xx36x-\dfrac{x^3}{6} に近いと覚えておきましょう。

cosのマクローリン展開

f(x)=cosxf(x)=\cos x についても同様です。,x=0x=0 での導関数の値は(f(0)f(0) からスタートして)1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,-1,0,1,0,-1,0,\cdots と繰り返していくので,

cosx=1x22!+x44!x66!+\cos x=1-\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots

となります。

cosx\cos x は原点付近では 1x221-\dfrac{x^2}{2} に近いと覚えておきましょう。

注:なお,sinもcosも収束半径は無限大です(任意の実数 xx に対して右辺の級数は収束して左辺と一致します)。ダランベールの判定法から分かります。

最近いろいろな方がネタを提供してくださるのでとても嬉しいです。

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