一次近似の意味とよく使う近似公式一覧

関数 $f(x)$ は複雑で扱いにくいので， その一部を一次関数という単純な関数で近似しようという発想です。近似したい部分で関数の接線を引き，それを近似関数とします。

そして，$x=a$ における接線の方程式は微分係数を使って

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

と書けます。これを $x\fallingdotseq a$ における $f(x)$ の近似式とみなします。つまり，

$f(x)\fallingdotseq f(a)+f'(a)(x-a)$

と考えます。

もとの関数と接線の共有点は多くの場合，その接点のみです。つまり「接線 $-$ もとの関数」が0以上（または0以下）という不等式を得ることができます。

一次関数（接線）で近似するのが一次近似です。より一般に，$f(x)$ を $n$ 次関数で近似するのが $n$ 次近似です。当然ですが $n$ が大きいほど精密な近似になります。（乱暴な言い方ですが）$n\to\infty$ とするとテイラー展開（マクローリン展開）になります。→マクローリン展開

高校物理で登場する近似式の多くが一次近似の形です。一方，高校数学では「近似」は直接は問題にしにくいので不等式の形で活躍することが多いです。

近似式，関連する不等式，不等式が成立する範囲の3点セットで紹介します。

$x\fallingdotseq 0$ のとき，

• $\sqrt{1+x}\fallingdotseq 1+\dfrac{x}{2}$, $\sqrt{1+x}\leq 1+\dfrac{x}{2}$, $x > -1$
  →ベルヌーイの不等式

• $\sin x\fallingdotseq x$, $\sin x\leq x$, $x\geq 0$
  →マクローリン型不等式（三角関数）

• $\cos x\fallingdotseq 1$, $\cos x\leq 1$, 任意の実数

• $\tan x\fallingdotseq x$, $\tan x\geq x$, $x\geq 0$

• $e^x\fallingdotseq 1+x$, $e^x \geq 1+x$, 任意の実数
  →マクローリン型不等式（指数関数）

• $\log (1+x)\fallingdotseq x$, $\log (1+x)\leq x$, $x > -1$

$x\fallingdotseq e$ のとき，

• $\log x\fallingdotseq \dfrac{x}{e}$, $\log x \leq \dfrac{x}{e}$, $x > 0$

一次近似の考え方を知らないと厳しい入試問題です。1999年東大理系第6問です。

注： $e^{\pi}=23.14\cdots$ です。 $2.7^3=19.683$ では不十分なのでそれなりに厳しい評価が必要になります。

Tag:東大入試数学の良問と背景知識まとめ