東大入試数学の良問と背景知識まとめ

三角形 $ABC$ の各辺 $BC,CA,AB$ 上にそれぞれ $L,M,N$ を，$\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{CM}{MA}=\dfrac{AN}{NB}=\dfrac{1}{2}$ となるように取る。 $AL$ と $CN$ の交点を $P$，$AL$ と $BM$ の交点を $Q$，$BM$ と $CN$ の交点を $R$ とするとき三角形 $PQR$ と三角形 $ABC$ の面積比を求めよ。

放物線 $y=\dfrac{3}{4}-x^2$ を $y$ 軸の回りに回転させて得られる曲面 $K$ を原点を通り回転軸と $45^{\circ}$ の角をなす平面 $H$ で切る。曲面 $K$ と平面 $H$ で囲まれた部分の体積を求めよ。

$f(x)=\pi x^2\sin \pi x^2$ とする。 $y=f(x)$ のグラフの $0\leq x\leq 1$ の部分と $x$ 軸で囲まれた図形を $y$ 軸のまわりに回転させてできる図形の体積 $V$ は $V=2\pi\int_0^{1}xf(x)dx$ で与えられることを示し，この値を求めよ。

$V$ を一辺の長さが1の正八面体とする。

（1）$V$ の一つの面と平行な平面で $V$ を切ったときの切り口の周の長さは一定であることを示せ。

（2）一辺の長さが1の正方形の穴が開いた平面がある。 $V$ をこの平面にふれることなく穴を通過させることができるか。結論と理由を述べよ。

じゃんけんグリコの最適戦略を求めよ。

任意の正の実数 $x,y$ に対して $\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq k\sqrt{2x+y}$ が成立するような実数 $k$ の最小値を求めよ。

$a$ を $0$ でない実数とする。 $$f(x)=(3x^2-4)\left(x-a+\dfrac{1}{a}\right)$$ の極大値と極小値の差が最小となる $a$ を求めよ。

（1）一般角 $\theta$ に対して $\sin\theta,\:\cos\theta$ の定義を述べよ。

$\displaystyle\int_0^{\pi}e^x\sin^2xdx > 8$ を示せ。ただし，$\pi=3.14\cdots$ ，$e=2.71\cdots$ である。

円周率が3.05よりも大きいことを証明せよ。

$f(x)=\dfrac{x}{2}(1+e^{-2(x-1)})$ とする。

（1）$x > \dfrac{1}{2}$ ならば $0\leq f'(x) <\dfrac{1}{2}$ を示せ。

（2）$x_0$ を $\dfrac{1}{2}$ より大きい正の数とし，数列 $\{x_n\}$ を $x_{n+1}=f(x_n)$ で定める。このとき $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=1$ を証明せよ。

$a_1=\dfrac{1}{2}$ とし，数列 $a_n$ を漸化式 $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{(1+a_n)^2}\:(n=1,2,3,\cdots)$ によって定める。

（1）$b_n=\dfrac{1}{a_n}$ とおく。 $n > 1$ のとき $b_n> 2n$ を示せ。

（2）$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_1+\cdots +a_n}{n}$ を求めよ。

1. すべての自然数 $k$ に対して，次の不等式を示せ。 $$\dfrac{1}{2(k+1)} < \int_0^1 \dfrac{1-x}{k+x} dx < \dfrac{1}{2k}$$

2. $m > n$ であるようなすべての自然数 $m$ と $n$ に対して，次の不等式を示せ。 $$\dfrac{m-n}{2(m+1)(n+1)} < \log \dfrac{m}{n} - \sum_{k=n+1}^m \dfrac{1}{k} < \dfrac{m-n}{2mn}$$

正の実数 $a$ に対して，座標平面上で次の放物線を考える：

$C:y=ax^2+\dfrac{1-4a^2}{4a}$

$a$ が正の実数全体を動くとき，$C$ の通過する領域を求めよ。