三角形のフェルマー点の3通りの証明

三角形の内部の点を $P$ とする。$P$ と頂点 $C$ を 「$A$ を中心として反時計回りに $60^{\circ}$ 回転させた点」を $Q, D$ とおく。三角形 $APQ,ACD$ は正三角形となる。

三角形 $APC$ と $AQD$ は2辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同となり，$PC=QD$ である。

よって， $$AP+BP+CP=BP+PQ+QD\geq BD$$

この不等式は任意の内部の点 $P$ に対して成立する。

三角形 $ABC$ の最大角が $120^{\circ}$ 未満のとき，内部の点 $P$ をうまく選ぶと $B, P, Q, D$ がこの順で一直線上に並び，上記不等式で等号が成立する。このとき，

$$\begin{aligned} \angle APB &= 180^{\circ}-\angle APQ\\ &=120^{\circ}\\ \angle APC &= \angle AQD\\ &=180^{\circ}-\angle AQP\\ &=120^{\circ} \end{aligned}$$

$BP+CP$ が一定となる軌跡は $B, C$ を焦点とする楕円 $E$ 。

よって，$BP+CP$ が一定のもとで $AP+BP+CP$ が最小になるのは，$P$ における $E$ の接線と $AP$ が直交するとき。

このとき，楕円の反射定理より，$\angle BPA=\angle CPA$ となる。同様にして，$P$ がフェルマー点となるとき $\angle CPA=\angle APB=\angle BPC$ が分かる。

直線 $BC$ に関して $A$ と反対側に，三角形 $BCD$ が正三角形となるように点 $D$ を取る。

トレミーの不等式より，$BP+CP\geq PD$ となり，

$$AP+BP+CP\geq AP +PD\geq AD$$

等号が成立するのは，$B, P, C, D$ が同一円周上にあり，$A, P, D$ が一直線上にあるとき。

このとき， $$\begin{aligned} \angle APB &= 180^{\circ}-\angle BPD\\ &= 180^{\circ}-\angle BCD\\ &= 120^{\circ} \end{aligned}$$

同様にして $\angle APC=120^{\circ}$ も示せる。