トレミーの不等式の証明と例題

三角形 $ABP$ と三角形 $DBC$ が相似になるように点 $P$ を取ると，

$$AB\times CD=AP\times BD$$

また，2辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので三角形 $ABD$ と三角形 $PBC$ も相似である。

よって，$AD\times BC=PC\times BD$ が成立する。

以上2つの等式から， $AB\times CD+AD\times BC=(AP+PC)\times BD$ となる。これと，三角不等式 $AP+PC\geqq AC$ よりトレミーの不等式が示された。

四角形 $ABCE$ にトレミーの不等式を用いる。

$$AB\times CE+AE\times BC\geqq AC\times BE$$

$AB=BC$ より，$\dfrac{BC}{BE}\geqq\dfrac{AC}{AE+CE}$ である。同様に，四角形 $CDEA$，$EFAC$ にもトレミーの不等式を用いて以下の不等式を得る。

$$\dfrac{DE}{DA}\geqq\dfrac{CE}{AC+AE}\\ \dfrac{FA}{FC}\geqq\dfrac{AE}{AC+CE}$$

以上3つの不等式を加える。

$$\dfrac{BC}{BE}+\dfrac{DE}{DA}+\dfrac{FA}{FC} \geqq \dfrac{AC}{AE+CE}+\dfrac{CE}{AC+AE}+\dfrac{AE}{AC+CE}$$

この右辺はNesbittの不等式より，$\dfrac{3}{2}$ 以上であることが分かる。