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各地の数オリの過去問

更新日時 2021/03/07

当サイトで紹介したIMO以外の数学オリンピック関連の過去問を整理しています。JMO,USAMO,APMOなどなど。

IMO(国際数学オリンピック)に関しては国際数学オリンピックの過去問をどうぞ。

目次
  • 2015 JJMO予選 第7問

  • 2014 JMO本選 第2問

  • 2011 APMO 第1問

  • 2009 APMO 第2問

  • 2006 JMO予選 第5問

  • 2006 JMO本選 第5問

  • 2006 IMO Shortlist

  • 2005 JMO予選 第6問

  • 2004 JMO本選 第1問

  • 2004 USAMO 第5問

  • 2002 USAMO 第3問

  • 2002 IMO Shortlist

  • 2001 JMO予選 第8問

  • 1997 IMO Shortlist

  • 1996 APMO 第5問

  • 1994 PC A-4

  • 1992 IMO Shortlist

  • 1991 APMO 第3問

  • 1991 IMO Shortlist

  • 1981 IMO Shortlist

2015 JJMO予選 第7問

次の等式を満たす正の実数 xx を求めよ:

x+x(x+1)+x(x+2)+(x+1)(x+2)=2x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2

→問題の解答・解説

2014 JMO本選 第2問

2a+3b+1=6c2^a+3^b+1=6^c を満たす自然数 (a,b,c)(a,b,c) の組を全て求めよ。

→問題の解答・解説

2011 APMO 第1問

a2+b+c,b2+c+a,c2+a+ba^2+b+c, b^2+c+a, c^2+a+b がいずれも平方数になるような自然数 a,b,ca,b,c の組が存在しないことを証明せよ。

→問題の解答・解説

2009 APMO 第2問

a1,a2,a3,a4,a5a_1,a_2,a_3,a_4,a_5 を以下の5つの方程式を満たす実数とする。

p=15apk2+p=1k2(k=1,2,5)\displaystyle\sum_{p=1}^5\dfrac{a_p}{k^2+p}=\dfrac{1}{k^2}\: (k=1,2\cdots,5)

このとき,M=a137+a238+a339+a440+a541M=\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41} の値を求めよ。

→問題の解答・解説

2006 JMO予選 第5問

次の連立方程式を解け:

x23yz=8x^2-3y-z=-8

y25zx=12y^2-5z-x=-12

z2xy=6z^2-x-y=6

→問題の解答・解説

2006 JMO本選 第5問

任意の正の実数 x1,x2,,z3x_1,x_2,\cdots,z_3 に対して不等式

(x13+x23+x33+1)(y13+y23+y33+1)(z13+z23+z33+1)A(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3)(x_1^3+x_2^3+x_3^3+1)(y_1^3+y_2^3+y_3^3+1)(z_1^3+z_2^3+z_3^3+1)\\\geq A(x_1+y_1+z_1)(x_2+y_2+z_2)(x_3+y_3+z_3)

が常に成り立つような実数 AA の最大値を求めよ。また,AA をその値にするとき等号が成立する条件を求めよ。

→問題の解答・解説

2006 IMO Shortlist

a,b,ca,\:b,\:c が三角形の三辺の長さであるとき以下の不等式を証明せよ:

cycb+cab+ca3\displaystyle\sum_{\mathrm{cyc}}\dfrac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}\leq 3

→問題の解答・解説

2005 JMO予選 第6問

実数 a,ba,ba+b=17a+b=17 を満たすとき,2a+4b2^a+4^b の最小値を求めよ。

→問題の解答・解説

2004 JMO本選 第1問

2n2+1,3n2+1,6n2+12n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1 がいずれも平方数になるような自然数 nn が存在しないことを証明せよ。

→問題の解答・解説

2004 USAMO 第5問

正の実数 a,b,ca,b,c に対して

(a5a2+3)(b5b2+3)(c5c2+3)(a+b+c)3(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geq (a+b+c)^3

を証明せよ。

→問題の解答・解説

2002 USAMO 第3問

任意の nn 次モニック多項式(最高次の係数が1の多項式)F(x)F(x) が,nn 個の実根を持つ2つの nn 次モニック多項式の和で表されることを示せ。

→問題の解答・解説

2002 IMO Shortlist

実数から実数への関数 ff で,任意の実数 x,yx,\:y に対して以下を満たす関数を全て求めよ:

f(f(x)+y)=2x+f(f(y)x)f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)

→問題の解答・解説

2001 JMO予選 第8問

2つの方程式:

x5+2x4x35x210x+5=0x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5=0

x6+4x5+3x46x320x215x+5=0x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5=0

をともに満たす実数 xx を全て求めよ。

→問題の解答・解説

1997 IMO Shortlist

へこんでいない(凸な)六角形 ABCDEFABCDEF において,AB=BC,CD=DE,EF=FAAB=BC, CD=DE, EF=FA が成立するとき以下の不等式を証明せよ。

BCBE+DEDA+FAFC32\dfrac{BC}{BE}+\dfrac{DE}{DA}+\dfrac{FA}{FC}\geq \dfrac{3}{2}

→問題の解答・解説

1996 APMO 第5問

a,b,ca,b,c が三角形の辺の長さのとき以下の不等式を証明せよ:

a+bc+b+ca+c+aba+b+c\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}

→問題の解答・解説

→別解

1994 PC A-4

I=m=1n=1m2n3m(n3m+m3n)I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{m^2n}{3^m(n3^m+m3^n)} の値を求めよ。

→問題の解答・解説

1992 IMO Shortlist

f(f(x))+af(x)=b(a+b)xf(f(x))+af(x)=b(a+b)x を満たす関数 ff を求めよ。ただし,a,ba,b は正の実数で,ff は正の実数全体から正の実数全体への関数とする。

→問題の解答・解説

1991 APMO 第3問

正の実数 ai,bi(i=1,2,,n)a_i,b_i\:(i=1,2,\cdots,n)k=1nak=k=1nbk\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^nb_k を満たすとき以下の不等式を証明せよ:

a12a1+b1+a22a2+b2++an2an+bna1+a2++an2\dfrac{a_1^2}{a_1+b_1}+\dfrac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots +\dfrac{a_n^2}{a_n+b_n}\geq\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{2}

→問題の解答・解説

1991 IMO Shortlist

N=199019911992+199219911990N=1990^{1991^{1992}}+1992^{1991^{1990}}19911991 で最大何回割り切れるか求めよ。

→問題の解答・解説

1981 IMO Shortlist

nn 次多項式 P(x)P(x) が,k=0,1,,nk=0,1,\cdots,n に対して

P(k)=1n+1CkP(k)=\dfrac{1}{{}_{n+1}C_k} を満たすとき P(n+1)P(n+1) を求めよ。

→問題の解答・解説

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