各地の数オリの過去問

次の等式を満たす正の実数 $x$ を求めよ：

$x+\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{x(x+2)}+\sqrt{(x+1)(x+2)}=2$

→問題の解答・解説

$2^a+3^b+1=6^c$ を満たす自然数 $(a,b,c)$ の組を全て求めよ。

→問題の解答・解説

$a^2+b+c, b^2+c+a, c^2+a+b$ がいずれも平方数になるような自然数 $a,b,c$ の組が存在しないことを証明せよ。

→問題の解答・解説

$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ を以下の5つの方程式を満たす実数とする。

$\displaystyle\sum_{p=1}^5\dfrac{a_p}{k^2+p}=\dfrac{1}{k^2}\: (k=1,2\cdots,5)$

このとき，$M=\dfrac{a_1}{37}+\dfrac{a_2}{38}+\dfrac{a_3}{39}+\dfrac{a_4}{40}+\dfrac{a_5}{41}$ の値を求めよ。

→問題の解答・解説

次の連立方程式を解け：

$x^2-3y-z=-8$

$y^2-5z-x=-12$

$z^2-x-y=6$

→問題の解答・解説

任意の正の実数 $x_1,x_2,\cdots,z_3$ に対して不等式

$(x_1^3+x_2^3+x_3^3+1)(y_1^3+y_2^3+y_3^3+1)(z_1^3+z_2^3+z_3^3+1)\\\geq A(x_1+y_1+z_1)(x_2+y_2+z_2)(x_3+y_3+z_3)$

が常に成り立つような実数 $A$ の最大値を求めよ。また，$A$ をその値にするとき等号が成立する条件を求めよ。

→問題の解答・解説

$a,\:b,\:c$ が三角形の三辺の長さであるとき以下の不等式を証明せよ：

$\displaystyle\sum_{\mathrm{cyc}}\dfrac{\sqrt{b+c-a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}-\sqrt{a}}\leq 3$

→問題の解答・解説

実数 $a,b$ が $a+b=17$ を満たすとき，$2^a+4^b$ の最小値を求めよ。

→問題の解答・解説

$2n^2+1, 3n^2+1, 6n^2+1$ がいずれも平方数になるような自然数 $n$ が存在しないことを証明せよ。

→問題の解答・解説

正の実数 $a,b,c$ に対して

$(a^5-a^2+3)(b^5-b^2+3)(c^5-c^2+3)\geq (a+b+c)^3$

を証明せよ。

→問題の解答・解説

任意の $n$ 次モニック多項式（最高次の係数が1の多項式）$F(x)$ が，$n$ 個の実根を持つ2つの $n$ 次モニック多項式の和で表されることを示せ。

→問題の解答・解説

実数から実数への関数 $f$ で，任意の実数 $x,\:y$ に対して以下を満たす関数を全て求めよ：

$f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)$

→問題の解答・解説

2つの方程式：

$x^5+2x^4-x^3-5x^2-10x+5=0$

$x^6+4x^5+3x^4-6x^3-20x^2-15x+5=0$

をともに満たす実数 $x$ を全て求めよ。

→問題の解答・解説

へこんでいない（凸な）六角形 $ABCDEF$ において，$AB=BC, CD=DE, EF=FA$ が成立するとき以下の不等式を証明せよ。

$\dfrac{BC}{BE}+\dfrac{DE}{DA}+\dfrac{FA}{FC}\geq \dfrac{3}{2}$

→問題の解答・解説

$a,b,c$ が三角形の辺の長さのとき以下の不等式を証明せよ：

$\sqrt{a+b-c}+\sqrt{b+c-a}+\sqrt{c+a-b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$

→問題の解答・解説

→別解

$I=\displaystyle\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{m^2n}{3^m(n3^m+m3^n)}$ の値を求めよ。

→問題の解答・解説

$f(f(x))+af(x)=b(a+b)x$ を満たす関数 $f$ を求めよ。ただし，$a,b$ は正の実数で，$f$ は正の実数全体から正の実数全体への関数とする。

→問題の解答・解説

正の実数 $a_i,b_i\:(i=1,2,\cdots,n)$ が $\displaystyle\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^nb_k$ を満たすとき以下の不等式を証明せよ：

$\dfrac{a_1^2}{a_1+b_1}+\dfrac{a_2^2}{a_2+b_2}+\cdots +\dfrac{a_n^2}{a_n+b_n}\geq\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{2}$

→問題の解答・解説

$N=1990^{1991^{1992}}+1992^{1991^{1990}}$ が $1991$ で最大何回割り切れるか求めよ。

→問題の解答・解説

$n$ 次多項式 $P(x)$ が，$k=0,1,\cdots,n$ に対して

$P(k)=\dfrac{1}{{}_{n+1}C_k}$ を満たすとき $P(n+1)$ を求めよ。

→問題の解答・解説