1. 高校数学の美しい物語
  2. 国際数学オリンピックの過去問

国際数学オリンピックの過去問

更新日時 2021/03/07
目次
  • 2014 南アフリカ大会 第4問

  • 2012 アルゼンチン大会 第2問

  • 2005 メキシコ大会 第4問

  • 2001 アメリカ大会 第2問

  • 2000 韓国大会 第2問

  • 1995 カナダ大会 第2問

  • 1993 トルコ大会 第1問

  • 1992 ロシア大会 第4問

  • 1991 スウェーデン大会 第1問

  • 1989 ドイツ大会 第5問

  • 1988 オーストラリア大会 第6問

  • 1987 キューバ大会 第1問

  • 1985 フィンランド大会 第4問

  • 1984 チェコスロバキア大会 第1問

  • 1983 フランス大会 第1問

  • 1983 フランス大会 第4問

  • 1983 フランス大会 第6問

  • 1979 イギリス大会 第1問

  • 1979 イギリス大会 第5問

  • 1978 ルーマニア大会 第5問

  • 1975 ブルガリア大会 第1問

  • 1969 ルーマニア大会 第1問

  • 1964 ロシア大会 第2問

  • 1963 ポーランド大会 第5問

  • 1962 チェコスロバキア大会 第6問

  • 1961 ハンガリー大会 第2問

2014 南アフリカ大会 第4問

鋭角三角形 ABCABC の辺 BCBC 上に PAB=BCA,\angle PAB=\angle BCA,

CAQ=ABC\angle CAQ=\angle ABC となるように取る。また,AMAM の中点が PPANAN の中点が QQ となるように M,NM,N を取る。

このとき BMBMCNCN の交点 XXABCABC の外接円上にあることを証明せよ。 →問題の解答・解説

2012 アルゼンチン大会 第2問

33 以上の整数 nn と,正の実数 a2,a3,,ana_2,a_3,\cdots,a_na2a3an=1a_2a_3\cdots a_n=1 を満たしているとき以下の不等式を証明せよ:

(a2+1)2(a3+1)3(an+1)n>nn(a_2+1)^2(a_3+1)^3\cdots(a_n+1)^n > n^n →問題の解答・解説

2005 メキシコ大会 第4問

「数列 an=2n+3n+6n1a_n=2^n+3^n+6^n-1 の全ての項と互いに素」な自然数を全て求めよ。 →問題の解答・解説

2001 アメリカ大会 第2問

a,b,c>0a,b,c>0 のとき aa2+8bc+bb2+8ca+cc2+8ab1\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1 を示せ。 →問題の解答・解説 →別解

2000 韓国大会 第2問

abc=1abc=1 を満たす正の実数 a,b,ca,b,c に対して以下の不等式が成立することを示せ:

(a1+1b)(b1+1c)(c1+1a)1(a-1+\dfrac{1}{b})(b-1+\dfrac{1}{c})(c-1+\dfrac{1}{a})\leq 1→問題の解答・解説

1995 カナダ大会 第2問

abc=1abc=1 を満たす正の実数 a,b,ca,b,c に対して以下の不等式が成立することを示せ:

1a3(b+c)+1b3(c+a)+1c3(a+b)32\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}\geq \dfrac{3}{2}→問題の解答・解説

1993 トルコ大会 第1問

22 以上の自然数 nn に対して,f(x)=xn+5xn1+3f(x)=x^n+5x^{n-1}+3 が整数係数の範囲で因数分解できないことを示せ。 →問題の解答・解説

1992 ロシア大会 第4問

CC の接線 ll 上に点 MM がある。以下の条件を満たす点 PP の存在範囲を求めよ。

ll 上に 22Q,RQ,R が存在して,QM=RMQM=RM かつ CC が三角形 PQRPQR の内接円」 →問題の解答・解説

1991 スウェーデン大会 第1問

三角形 ABCABC の内心を IIAIAIBCBC の交点を PPBIBICACA の交点を QQCICIABAB の交点を RR とおくとき,

14<AIBICIAPBQCR827\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI\cdot CI}{AP\cdot BQ\cdot CR}\leq\dfrac{8}{27} を証明せよ。 →問題の解答・解説

1989 ドイツ大会 第5問

任意の自然数 nn に対して,「いずれもが素数のべき乗の形でないような連続する nn 個の自然数」が存在することを証明せよ。 →問題の解答・解説

1988 オーストラリア大会 第6問

ab+1ab+1a2+b2a^2+b^2 を割り切るような正の整数 a,ba,\:b に対して,a2+b2ab+1\dfrac{a^2+b^2}{ab+1} が平方数であることを証明せよ。 →問題の解答・解説

1987 キューバ大会 第1問

pn(k)p_n(k) を不動点をちょうど kk 個持つ nn 次の置換の数とする。

このとき,k=0nkpn(k)=n!\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot p_n(k)=n! を証明せよ。

ただし,nn 次の置換とは,集合 S={1,2,,n}S=\{1,2,\cdots,n\} から SS への一対一対応であり,f(i)=if(i)=i を満たすとき ii を置換 ff の不動点と呼ぶ。 →問題の解答・解説

1985 フィンランド大会 第4問

MM を1985個の異なる自然数からなる集合とする。いずれの自然数も 2323 より大きい素因数は持たない。このとき MM の要素のうち 44 つをうまく選べばそれらの積が自然数の4乗の形で書けることを示せ。→問題の解答・解説

1984 チェコスロバキア大会 第1問

x+y+z=1x+y+z=1 を満たす非負の実数 x,y,zx,y,z に対して以下の不等式を証明せよ:

0xy+yz+zx2xyz7270\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27} →問題の解答・解説

1983 フランス大会 第1問

正の実数全体から正の実数全体への関数 ff で以下の条件を満たすものを全て求めよ。

  • 任意の x,yx,y に対して f(xf(y))=yf(x)f(xf(y))=yf(x)
  • xx\to\infty のときに f(x)0f(x)\to 0 →問題の解答・解説

1983 フランス大会 第4問

正三角形 ABCABC において,3つの辺上の点全体の集合を EE とおく。 EE を2つに分割するとき,どちらか一方は直角三角形をなす3点を含むことを示せ。→問題の解答・解説

1983 フランス大会 第6問

$a, b, c $ が三角形の各辺の長さのとき,a2b(ab)+b2c(bc)+c2a(ca)0a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0 を証明せよ。→問題の解答・解説

1979 イギリス大会 第1問

ppqq を自然数として,

pq=112+1314+11318+11319\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}

が成立するとき pp19791979 の倍数となることを証明せよ →問題の解答・解説

1979 イギリス大会 第5問

x1x_1 から x5x_5 に関する次の連立方程式が非負の解を持つような実数 aa の値を全て求めよ。

x1+2x2+3x3+4x4+5x5=ax1+23x2+33x3+43x4+53x5=a2x1+25x2+35x3+45x4+55x5=a3x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=a\\x_1+2^3x_2+3^3x_3+4^3x_4+5^3x_5=a^2\\x_1+2^5x_2+3^5x_3+4^5x_4+5^5x_5=a^3 →問題の解答・解説

1978 ルーマニア大会 第5問

ana_n は全ての項が自然数で全て異なる数列とする。このとき以下の不等式を証明せよ:

k=1nakk2k=1n1k\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{k^2}\geq\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}→問題の解答・解説

1975 ブルガリア大会 第1問

実数 xi,yi(i=1,2,,n)x_i,y_i (i=1,2,\cdots,n)x1x2xnx_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n かつ,y1y2yny_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n を満たすとする。

y1,y2,,yny_1,y_2,\cdots,y_n の任意の置換(並べ替え)z1,z2,,znz_1,z_2,\cdots,z_n に対して以下の不等式が成立することを証明せよ。

i=1n(xiyi)2i=1n(xizi)2\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\leq\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2→問題の解答・解説

1969 ルーマニア大会 第1問

「任意の自然数 nn に対して n4+an^4+a が素数でない」という条件を満たす自然数 aa が無限個存在することを証明せよ。 →問題の解答・解説

1964 ロシア大会 第2問

$a, b, c $ が三角形の各辺の長さのとき,a2(b+ca)+b2(c+ab)+c2(a+bc)3abca^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc を証明せよ。→問題の解答・解説

1963 ポーランド大会 第5問

cosπ7cos2π7+cos3π7=12\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{1}{2} を示せ。 →問題の解答・解説

1962 チェコスロバキア大会 第6問

三角形において内接円の半径を rr ,外接円の半径を RR とおくとき,外心 OO と内心 II との距離 dd が以下の式で表されることを示せ:

d=R22Rrd=\sqrt{R^2-2Rr} →問題の解答・解説

1961 ハンガリー大会 第2問

三角形 ABCABC の三辺の長さを a,b,ca, b, c ,面積を SS とおくとき以下の不等式が成立することを示せ:

a2+b2+c243Sa^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S →問題の解答・解説

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