国際数学オリンピックの過去問
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当サイトで紹介したIMO(国際数学オリンピック)の過去問を整理しています。
- IMO以外の問題→各地の数オリの過去問
- 各問題の難易度(平均点)→数学オリンピックの合格点推移
2014 南アフリカ大会 第4問
2014 南アフリカ大会 第4問
2012 アルゼンチン大会 第2問
2012 アルゼンチン大会 第2問
以上の整数 と,正の実数 が を満たしているとき以下の不等式を証明せよ:
2005 メキシコ大会 第4問
2005 メキシコ大会 第4問
「数列 の全ての項と互いに素」な自然数を全て求めよ。 →問題の解答・解説
2001 アメリカ大会 第2問
2001 アメリカ大会 第2問
2000 韓国大会 第2問
2000 韓国大会 第2問
を満たす正の実数 に対して以下の不等式が成立することを示せ:
1995 カナダ大会 第2問
1995 カナダ大会 第2問
を満たす正の実数 に対して以下の不等式が成立することを示せ:
1993 トルコ大会 第1問
1993 トルコ大会 第1問
以上の自然数 に対して, が整数係数の範囲で因数分解できないことを示せ。 →問題の解答・解説
1992 ロシア大会 第4問
1992 ロシア大会 第4問
円 の接線 上に点 がある。以下の条件を満たす点 の存在範囲を求めよ。
「 上に 点 が存在して, かつ が三角形 の内接円」 →問題の解答・解説
1991 スウェーデン大会 第1問
1991 スウェーデン大会 第1問
三角形 の内心を , と の交点を , と の交点を , と の交点を とおくとき,
を証明せよ。 →問題の解答・解説
1989 ドイツ大会 第5問
1989 ドイツ大会 第5問
任意の自然数 に対して,「いずれもが素数のべき乗の形でないような連続する 個の自然数」が存在することを証明せよ。 →問題の解答・解説
1988 オーストラリア大会 第6問
1988 オーストラリア大会 第6問
が を割り切るような正の整数 に対して, が平方数であることを証明せよ。 →問題の解答・解説
1987 キューバ大会 第1問
1987 キューバ大会 第1問
1985 フィンランド大会 第4問
1985 フィンランド大会 第4問
を1985個の異なる自然数からなる集合とする。いずれの自然数も より大きい素因数は持たない。このとき の要素のうち つをうまく選べばそれらの積が自然数の4乗の形で書けることを示せ。→問題の解答・解説
1984 チェコスロバキア大会 第1問
1984 チェコスロバキア大会 第1問
を満たす非負の実数 に対して以下の不等式を証明せよ:
1983 フランス大会 第1問
1983 フランス大会 第1問
正の実数全体から正の実数全体への関数 で以下の条件を満たすものを全て求めよ。
- 任意の に対して
- のときに →問題の解答・解説
1983 フランス大会 第4問
1983 フランス大会 第4問
正三角形 において,3つの辺上の点全体の集合を とおく。 を2つに分割するとき,どちらか一方は直角三角形をなす3点を含むことを示せ。→問題の解答・解説
1983 フランス大会 第6問
1983 フランス大会 第6問
$a, b, c $ が三角形の各辺の長さのとき, を証明せよ。→問題の解答・解説
1979 イギリス大会 第1問
1979 イギリス大会 第1問
1979 イギリス大会 第5問
1979 イギリス大会 第5問
から に関する次の連立方程式が非負の解を持つような実数 の値を全て求めよ。
1978 ルーマニア大会 第5問
1978 ルーマニア大会 第5問
は全ての項が自然数で全て異なる数列とする。このとき以下の不等式を証明せよ:
1975 ブルガリア大会 第1問
1975 ブルガリア大会 第1問
1969 ルーマニア大会 第1問
1969 ルーマニア大会 第1問
「任意の自然数 に対して が素数でない」という条件を満たす自然数 が無限個存在することを証明せよ。 →問題の解答・解説
1964 ロシア大会 第2問
1964 ロシア大会 第2問
が三角形の各辺の長さのとき, を証明せよ。→問題の解答・解説
1963 ポーランド大会 第5問
1963 ポーランド大会 第5問
を示せ。 →問題の解答・解説
1962 チェコスロバキア大会 第6問
1962 チェコスロバキア大会 第6問
三角形において内接円の半径を ,外接円の半径を とおくとき,外心 と内心 との距離 が以下の式で表されることを示せ:
1961 ハンガリー大会 第2問
1961 ハンガリー大会 第2問
三角形 の三辺の長さを ,面積を とおくとき以下の不等式が成立することを示せ: