国際数学オリンピックの過去問

鋭角三角形 $ABC$ の辺 $BC$ 上に $\angle PAB=\angle BCA,$

$\angle CAQ=\angle ABC$ となるように取る。また，$AM$ の中点が $P$ ，$AN$ の中点が $Q$ となるように $M,N$ を取る。

このとき $BM$ と $CN$ の交点 $X$ が $ABC$ の外接円上にあることを証明せよ。 →問題の解答・解説

$3$ 以上の整数 $n$ と，正の実数 $a_2,a_3,\cdots,a_n$ が $a_2a_3\cdots a_n=1$ を満たしているとき以下の不等式を証明せよ：

$(a_2+1)^2(a_3+1)^3\cdots(a_n+1)^n > n^n$ →問題の解答・解説

「数列 $a_n=2^n+3^n+6^n-1$ の全ての項と互いに素」な自然数を全て求めよ。 →問題の解答・解説

$a,b,c>0$ のとき $\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\geq 1$ を示せ。 →問題の解答・解説 →別解

$abc=1$ を満たす正の実数 $a,b,c$ に対して以下の不等式が成立することを示せ：

$(a-1+\dfrac{1}{b})(b-1+\dfrac{1}{c})(c-1+\dfrac{1}{a})\leq 1$→問題の解答・解説

$abc=1$ を満たす正の実数 $a,b,c$ に対して以下の不等式が成立することを示せ：

$\dfrac{1}{a^3(b+c)}+\dfrac{1}{b^3(c+a)}+\dfrac{1}{c^3(a+b)}\geq \dfrac{3}{2}$→問題の解答・解説

$2$ 以上の自然数 $n$ に対して，$f(x)=x^n+5x^{n-1}+3$ が整数係数の範囲で因数分解できないことを示せ。 →問題の解答・解説

円 $C$ の接線 $l$ 上に点 $M$ がある。以下の条件を満たす点 $P$ の存在範囲を求めよ。

「 $l$ 上に $2$ 点 $Q,R$ が存在して，$QM=RM$ かつ $C$ が三角形 $PQR$ の内接円」 →問題の解答・解説

三角形 $ABC$ の内心を $I$ ，$AI$ と $BC$ の交点を $P$ ，$BI$ と $CA$ の交点を $Q$ ，$CI$ と $AB$ の交点を $R$ とおくとき，

$\dfrac{1}{4} < \dfrac{AI\cdot BI\cdot CI}{AP\cdot BQ\cdot CR}\leq\dfrac{8}{27}$ を証明せよ。 →問題の解答・解説

任意の自然数 $n$ に対して，「いずれもが素数のべき乗の形でないような連続する $n$ 個の自然数」が存在することを証明せよ。 →問題の解答・解説

$ab+1$ が $a^2+b^2$ を割り切るような正の整数 $a,\:b$ に対して，$\dfrac{a^2+b^2}{ab+1}$ が平方数であることを証明せよ。 →問題の解答・解説

$p_n(k)$ を不動点をちょうど $k$ 個持つ $n$ 次の置換の数とする。

このとき，$\displaystyle\sum_{k=0}^nk\cdot p_n(k)=n!$ を証明せよ。

ただし，$n$ 次の置換とは，集合 $S=\{1,2,\cdots,n\}$ から $S$ への一対一対応であり，$f(i)=i$ を満たすとき $i$ を置換 $f$ の不動点と呼ぶ。 →問題の解答・解説

$M$ を1985個の異なる自然数からなる集合とする。いずれの自然数も $23$ より大きい素因数は持たない。このとき $M$ の要素のうち $4$ つをうまく選べばそれらの積が自然数の4乗の形で書けることを示せ。→問題の解答・解説

$x+y+z=1$ を満たす非負の実数 $x,y,z$ に対して以下の不等式を証明せよ：

$0\leq xy+yz+zx-2xyz\leq\dfrac{7}{27}$ →問題の解答・解説

正の実数全体から正の実数全体への関数 $f$ で以下の条件を満たすものを全て求めよ。

• 任意の $x,y$ に対して $f(xf(y))=yf(x)$
• $x\to\infty$ のときに $f(x)\to 0$ →問題の解答・解説

正三角形 $ABC$ において，3つの辺上の点全体の集合を $E$ とおく。 $E$ を2つに分割するとき，どちらか一方は直角三角形をなす3点を含むことを示せ。→問題の解答・解説

$a, b, c $ が三角形の各辺の長さのとき，$a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\geq 0$ を証明せよ。→問題の解答・解説

$p$ と $q$ を自然数として，

$\dfrac{p}{q}=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\cdots-\dfrac{1}{1318}+\dfrac{1}{1319}$

が成立するとき $p$ は $1979$ の倍数となることを証明せよ →問題の解答・解説

$x_1$ から $x_5$ に関する次の連立方程式が非負の解を持つような実数 $a$ の値を全て求めよ。

$x_1+2x_2+3x_3+4x_4+5x_5=a\\x_1+2^3x_2+3^3x_3+4^3x_4+5^3x_5=a^2\\x_1+2^5x_2+3^5x_3+4^5x_4+5^5x_5=a^3$ →問題の解答・解説

$a_n$ は全ての項が自然数で全て異なる数列とする。このとき以下の不等式を証明せよ：

$\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{a_k}{k^2}\geq\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$→問題の解答・解説

実数 $x_i,y_i (i=1,2,\cdots,n)$ が $x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n$ かつ，$y_1\geq y_2\geq\cdots\geq y_n$ を満たすとする。

$y_1,y_2,\cdots,y_n$ の任意の置換（並べ替え）$z_1,z_2,\cdots,z_n$ に対して以下の不等式が成立することを証明せよ。

$\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2\leq\sum_{i=1}^n(x_i-z_i)^2$→問題の解答・解説

「任意の自然数 $n$ に対して $n^4+a$ が素数でない」という条件を満たす自然数 $a$ が無限個存在することを証明せよ。 →問題の解答・解説

$a, b, c$ が三角形の各辺の長さのとき，$a^2(b+c-a)+b^2(c+a-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc$ を証明せよ。→問題の解答・解説

$\cos\dfrac{\pi}{7}-\cos\dfrac{2\pi}{7}+\cos\dfrac{3\pi}{7}=\dfrac{1}{2}$ を示せ。 →問題の解答・解説

三角形において内接円の半径を $r$ ,外接円の半径を $R$ とおくとき,外心 $O$ と内心 $I$ との距離 $d$ が以下の式で表されることを示せ：

$d=\sqrt{R^2-2Rr}$ →問題の解答・解説

三角形 $ABC$ の三辺の長さを $a, b, c$ ，面積を $S$ とおくとき以下の不等式が成立することを示せ：

$a^2+b^2+c^2\geq 4\sqrt{3}S$ →問題の解答・解説