国際数学オリンピックの過去問
当サイトで紹介したIMO(国際数学オリンピック)の過去問を整理しています。
- IMO以外の問題→各地の数オリの過去問
- 各問題の難易度(平均点)→数学オリンピックの合格点推移
2014 南アフリカ大会 第4問
2012 アルゼンチン大会 第2問
2005 メキシコ大会 第4問
2001 アメリカ大会 第2問
2000 韓国大会 第2問
1995 カナダ大会 第2問
1993 トルコ大会 第1問
1992 ロシア大会 第4問
1991 スウェーデン大会 第1問
1989 ドイツ大会 第5問
1988 オーストラリア大会 第6問
1987 キューバ大会 第1問
1985 フィンランド大会 第4問
1984 チェコスロバキア大会 第1問
1983 フランス大会 第1問
1983 フランス大会 第4問
1983 フランス大会 第6問
1979 イギリス大会 第1問
1979 イギリス大会 第5問
1978 ルーマニア大会 第5問
1975 ブルガリア大会 第1問
1969 ルーマニア大会 第1問
1964 ロシア大会 第2問
1963 ポーランド大会 第5問
1962 チェコスロバキア大会 第6問
1961 ハンガリー大会 第2問
2014 南アフリカ大会 第4問
鋭角三角形 の辺 上に
となるように取る。また, の中点が , の中点が となるように を取る。
このとき と の交点 が の外接円上にあることを証明せよ。 →問題の解答・解説
2005 メキシコ大会 第4問
「数列 の全ての項と互いに素」な自然数を全て求めよ。 →問題の解答・解説
1993 トルコ大会 第1問
以上の自然数 に対して, が整数係数の範囲で因数分解できないことを示せ。 →問題の解答・解説
1989 ドイツ大会 第5問
任意の自然数 に対して,「いずれもが素数のべき乗の形でないような連続する 個の自然数」が存在することを証明せよ。 →問題の解答・解説
1988 オーストラリア大会 第6問
が を割り切るような正の整数 に対して, が平方数であることを証明せよ。 →問題の解答・解説
1987 キューバ大会 第1問
を不動点をちょうど 個持つ 次の置換の数とする。
このとき, を証明せよ。
ただし, 次の置換とは,集合 から への一対一対応であり, を満たすとき を置換 の不動点と呼ぶ。 →問題の解答・解説
1985 フィンランド大会 第4問
を1985個の異なる自然数からなる集合とする。いずれの自然数も より大きい素因数は持たない。このとき の要素のうち つをうまく選べばそれらの積が自然数の4乗の形で書けることを示せ。→問題の解答・解説
1983 フランス大会 第4問
正三角形 において,3つの辺上の点全体の集合を とおく。 を2つに分割するとき,どちらか一方は直角三角形をなす3点を含むことを示せ。→問題の解答・解説
1983 フランス大会 第6問
$a, b, c $ が三角形の各辺の長さのとき, を証明せよ。→問題の解答・解説
1969 ルーマニア大会 第1問
「任意の自然数 に対して が素数でない」という条件を満たす自然数 が無限個存在することを証明せよ。 →問題の解答・解説
1964 ロシア大会 第2問
が三角形の各辺の長さのとき, を証明せよ。→問題の解答・解説
1963 ポーランド大会 第5問
を示せ。 →問題の解答・解説