条件式abc=1を持つ不等式の証明

$x=a, y=1, z=ca$ と置換すると，$a=\dfrac{x}{y}, b=\dfrac{y}{z}, c=\dfrac{z}{x}$ となるので，与えられた不等式は，

$\left(\dfrac{x}{y}-1+\dfrac{z}{y}\right)\left(\dfrac{y}{z}-1+\dfrac{x}{z}\right)\left(\dfrac{z}{x}-1+\dfrac{y}{x}\right)\leq 1$

両辺に $xyz$ をかけて気合いで展開すると，

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\\ \geq x^{2}y+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}y+z^{2}x+x^{2}z$

となり，これは $r=1$ の場合のSchurの不等式である。

$a=\dfrac{1}{x}, b=\dfrac{1}{y}, c=\dfrac{1}{z}$ と置換すると，与えられた不等式は，

$\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\geq \dfrac{3}{2}$

この左辺はシュワルツの不等式の応用公式，相加相乗平均の不等式を用いて評価できる：

（左辺）$\geq \dfrac{(x+y+z)^2}{y+z+z+x+x+y}\\ =\dfrac{x+y+z}{2}\\ \geq \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{xyz}=\dfrac{3}{2}$

この問題は上記の解答以外にも様々な別解が考えられそうです。例えば，右辺が $\dfrac{3}{2}$ なのでNesbittの不等式も連想されます。