不等式証明のコツ２：斉次式化

$a+b=1$ を用いて両辺が1次の斉次式となる同値な不等式に変形する：

$\dfrac{a^2}{2a+b}+\dfrac{b^2}{2b+a}\geq\dfrac{a+b}{3}$

分母を払って整理すると，以下の不等式と同値であることが分かる：

$a^3+b^3-a^2b-ab^2\geq0$

これは対称式であり簡単に因数分解できて証明が完了する：

$(a-b)^2(a+b)\geq 0$

$abc=1$ より左辺に $(abc)^{\tfrac{1}{3}}$ を掛けて2次の斉次式にする：

$a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{1}{3}}c^{\tfrac{1}{3}}+a^{\tfrac{1}{3}}b^{\tfrac{4}{3}}c^{\tfrac{1}{3}}+a^{\tfrac{1}{3}}b^{\tfrac{1}{3}}c^{\tfrac{4}{3}}\leq a^2+b^2+c^2$

相加相乗平均の不等式を用いて左辺を1項ずつ上から抑える：

$\dfrac{a^2+a^2+a^2+a^2+b^2+c^2}{6}\\\geq\sqrt[6]{a^8b^2c^2}\\=a^{\tfrac{4}{3}}b^{\tfrac{1}{3}}c^{\tfrac{1}{3}}$

同様に，

$\dfrac{a^2+4b^2+c^2}{6}\geq a^{\tfrac{1}{3}}b^{\tfrac{4}{3}}c^{\tfrac{1}{3}}$

$\dfrac{a^2+b^2+4c^2}{6}\geq a^{\tfrac{1}{3}}b^{\tfrac{1}{3}}c^{\tfrac{4}{3}}$

以上3つの不等式を足しあわせて求める不等式を得る。

両辺を4倍して右辺を $(a+b+c)^3$ 倍する：

$4a^3+4b^3+4c^3+24abc\geq (a+b+c)^3$

右辺を展開して整理：

$a^3+b^3+c^3+6abc\geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$

また，Schurの不等式より，

$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$

より目標の不等式が示された。