等角共役点とその証明

$\angle PAB=\alpha,\:\angle PBC=\beta,\:\angle PCA=\gamma$ とおく。また，三角形 $ABC$ の面積を $|ABC|$ などと書く。

$AP$ と $BC$ の交点を $D$ とおくと，

$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{|ABD|}{|ACD|}\\=\dfrac{AB\sin\alpha}{AC\sin(A-\alpha)}$

などが分かるので，チェバの定理より，

$\dfrac{AB\sin\alpha}{AC\sin(A-\alpha)}\dfrac{BC\sin\beta}{BA\sin(B-\beta)}\dfrac{CA\sin\gamma}{CB\sin(C-\gamma)}=1$

よって，

$\dfrac{\sin\alpha}{\sin(A-\alpha)}\dfrac{\sin\beta}{\sin(B-\beta)}\dfrac{\sin\gamma}{\sin(C-\gamma)}=1$

$\cdots(※)$ を得る。

目標は三本の等角共役線が一点で交わることだが，これは上記と同様に考えると，チェバの定理の逆より以下を示せばよい：

$\dfrac{AB\sin(A-\alpha)}{AC\sin\alpha}\dfrac{BC\sin(B-\beta)}{BA\sin\beta}\dfrac{CA\sin(C-\gamma)}{CB\sin\gamma}=1$

これは，$(※)$ より成立する。