九点円の定理の証明と諸性質

1. 中点連結定理より， $$C_MB_M//BC//B_NC_N\\ C_MB_N//AH//B_MC_N$$ これと，$AH\perp BC$ より，四角形 $B_M,C_N,B_N,C_M$ は長方形となり同一円周上にある。

2. 上記の長方形の対角線 $B_MB_N$ と $C_MC_N$ はその円 $\Gamma$ の直径となる。さらに，$\angle B_NB_HB_M=90^{\circ}$ より $B_H$ も $\Gamma$ の円周上にある。同様にして $C_H$ も $\Gamma$ の円周上にある。

以上から，$B_M,B_N,B_H,C_M,C_N,C_H$ は同一円周上にあることが分かったが，全く同様にして，$A_M,A_N,A_H,B_M,B_N,B_H$ も同一円周上にあることが分かる。しかし，三点 $B_M,B_N,B_H$ を通る円は1つしかないので上記の2つの円は一致する。以上から九点は同一円周上にあることが証明された。