フォイエルバッハの定理と計算による証明

前提知識2，5より $$\overrightarrow{\mathrm{ON}}=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{2}$$

これと前提知識4より

$$\begin{aligned} &\overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}}\\ &=\left(\dfrac{a}{a+b+c}-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{a}\\ &\quad +\left(\dfrac{b}{a+b+c}-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{b}\\ &\quad +\left(\dfrac{c}{a+b+c}-\dfrac{1}{2}\right)\overrightarrow{c} \end{aligned}$$

この2乗を計算すればよい。ただし，$|\overrightarrow{a}|^2=R^2$，$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=R^2\cos 2C$ などに注意する（後者は外接円に関する円周角と中心角の関係から）。

途中で前提知識3を用いて気合いで計算（後述）すると，右辺の2乗は $\dfrac{R^2}{4}-Rr+r^2$ となる。

前の議論より， $$\begin{aligned} &|\overrightarrow{\mathrm{OI}}-\overrightarrow{\mathrm{ON}}|^2\\ &= \left( \dfrac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{a+b+c}{a+b+c} \right)R^2\\ &\quad + \left( \dfrac{2ab}{(a+b+c)^2}-\dfrac{a+b}{a+b+c}+\dfrac{1}{2} \right) R^2\cos 2C\\ &\quad + \left( \dfrac{2bc}{(a+b+c)^2}-\dfrac{b+c}{a+b+c}+\dfrac{1}{2} \right) R^2\cos 2A\\ &\quad + \left( \dfrac{2ca}{(a+b+c)^2}-\dfrac{c+a}{a+b+c}+\dfrac{1}{2} \right) R^2\cos 2B \end{aligned}$$

これに $$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$$ および半角の公式 $$\cos 2 \theta =1-2\sin^2 \theta$$ を用いる：

$$\begin{aligned} &\left( \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)^2}+\dfrac{3}{4}-1-\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}+\dfrac{3}{2} \right) R^2\\ &- \left( \dfrac{4ab}{(a+b+c)^2}-\dfrac{2a+2b}{a+b+c}+1 \right) R^2\sin^2 C\\ &- \left( \dfrac{4bc}{(a+b+c)^2}-\dfrac{2b+2c}{a+b+c}+1 \right) R^2\sin^2 A\\ &- \left( \dfrac{4ca}{(a+b+c)^2}-\dfrac{2c+2a}{a+b+c}+1 \right) R^2\sin^2 B \end{aligned}$$

一行目は簡単になり，他の行は正弦定理 $R^2\sin^2 C=\dfrac{c^2}{4}$ （と $A,B$ それぞれの場合）を用いて変形する：

$$\begin{aligned} &\dfrac{R^2}{4}- \left( \dfrac{abc^2}{(a+b+c)^2}-\dfrac{ac^2+bc^2}{2(a+b+c)}+\dfrac{c^2}{4} \right) \\ &\quad - \left( \dfrac{a^2bc}{(a+b+c)^2}-\dfrac{ba^2+ca^2}{2(a+b+c)}+\dfrac{a^2}{4} \right) \\ &\quad - \left( \dfrac{ab^2c}{(a+b+c)^2}-\dfrac{cb^2+ab^2}{2(a+b+c)}+\dfrac{b^2}{4} \right) \\ &= \dfrac{R^2}{4}-\dfrac{abc}{a+b+c}\\ &\quad +\dfrac{1}{2(a+b+c)} \sum_{\mathrm{sym}}a^2b -\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4} \end{aligned}$$

ここで前提知識3を用いると $$\begin{aligned} (\text{与式}) &= \dfrac{R^2}{4} - Rr - \dfrac{abc}{2(a+b+c)}\\ &\quad +\dfrac{1}{2(a+b+c)} \sum_{\mathrm{sym}}a^2b -\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4} \end{aligned}$$

3，4，5項目が $r^2$ と等しいことを示せばよい。

これにはヘロンの公式を用いる：

$$\begin{aligned} r^2 &= \dfrac{4S^2}{(a+b+c)^2}\\ &= \dfrac{4\cdot\frac{1}{16} (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{(a+b+c)^2}\\ &=\dfrac{(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}\\ &=- \dfrac{\displaystyle (a^3+b^3+c^3)+2abc-\sum_{\mathrm{sym}}a^2b}{4(a+b+c)}\\ &- \dfrac{abc}{2(a+b+c)}-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\\ &\quad +\dfrac{1}{2(a+b+c)} \sum_{\mathrm{sym}}a^2b \end{aligned}$$

こうして求める式が得られる。