外接円の半径と三角形の面積の関係(S=abc/4R)

正弦定理より,

$\sin A=\dfrac{a}{2R}$

また，三角形の面積の公式から，

$S=\dfrac{1}{2}bc\sin A$

以上の2式から $\sin A$ を消去して整理すると求める公式を得る。

内接円の半径と面積の関係式から $S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)$

外接円の半径と面積の関係式から $S=\dfrac{abc}{4R}$

以上をそれぞれ $R,\:r$ について解くことにより,

$R-2r\\=\dfrac{abc}{4S}-\dfrac{4S}{a+b+c}\\ =\dfrac{abc(a+b+c)-16S^2}{4S(a+b+c)}$

この式の分子が非負であることを示せばよい。ヘロンの公式から,

$abc(a+b+c)-16S^2\\ =abc(a+b+c)\\ \:-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\\ =(a+b+c)\times X$

ただし，

$X=abc-(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\\ =a^3+b^3+c^3+3abc\\ \:-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)$

となる。ここで，$r=1$ の場合のSchur の不等式 を使うと，$X\geq 0$ がわかる。