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外接円の半径と三角形の面積の関係(S=4R/abc)

更新日時 2021/03/07

三辺の長さが a,b,ca,\:b,\:c の三角形の外接円の半径を RR , 面積を SS とおくとき以下の美しい関係が成立する。

S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}

検算に使える公式なので,受験生は覚えておくとよいでしょう。

目次
  • 公式の証明

  • 応用例:オイラーの不等式

公式の証明

証明は簡単です。外接円の半径 RR を登場させるために正弦定理を使います。また,三角形の面積 SS を登場させるために「 sin\sin による面積公式」を使います。

証明

正弦定理より,

a=2RsinAa=2R\sin A

また,三角形の面積の公式から,

S=12bcsinAS=\dfrac{1}{2}bc\sin A

以上の2式から sinA\sin A を消去して整理すると求める公式を得る。

応用例:オイラーの不等式

上記の公式の応用例として,オイラーの不等式を証明します。

腕に自信のある人は,証明を見る前に自力で考えてみてください。 数学オリンピックのよい練習問題になるでしょう。

オイラーの不等式:

三角形の外接円の半径を RR ,内接円の半径を rr としたとき,R2rR\geq 2r が成立する。

証明

内接円の半径と面積の関係式から S=12r(a+b+c)S=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)

外接円の半径と面積の関係式から S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R}

以上をそれぞれ R,rR,\:r について解くことにより,

R2r=abc4S4Sa+b+c=abc(a+b+c)16S24S(a+b+c)R-2r\\=\dfrac{abc}{4S}-\dfrac{4S}{a+b+c}\\ =\dfrac{abc(a+b+c)-16S^2}{4S(a+b+c)}

この式の分子が非負であることを示せばよい。ヘロンの公式から,

abc(a+b+c)16S2=abc(a+b+c)(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)=abc×Xabc(a+b+c)-16S^2\\ =abc(a+b+c)\\ \:-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\\ =abc\times X

ただし,

X=abc(a+bc)(ab+c)(a+b+c)=a3+b3+c3+3abc(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)X=abc-(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\\ =a^3+b^3+c^3+3abc\\ \:-(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)

となる。ここで,r=1r=1 の場合のSchur の不等式 を使うと,X0X\geq 0 がわかる。

余談:

  • 等号成立条件は,x=y=za=b=cx=y=z\rightarrow a=b=c,つまり正三角形の場合です。

  • オイラーの不等式はオイラーの公式からも瞬時に導かれます。

  • r=1r=1 の場合の Schur の不等式は,非常に有名なので覚えておくとよいでしょう。

  • 上記の証明の途中で登場する不等式: abc(a+bc)(ab+c)(a+b+c)0abc-(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)\geq 0 のことをレームス(lehmus)の不等式といいます。

S=abc4RS=\dfrac{abc}{4R} ,シンプルですが,かなり好きな式です。

Tag:三角形の面積を求める公式まとめ

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