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カージオイド曲線のグラフ,面積,長さ

更新日時 2021/03/07

極方程式 r=a(1+cosθ)r=a(1+\cos\theta) で表される曲線をカージオイド曲線と言う。

目次
  • カージオイド曲線のいろいろな表現

  • カージオイドのグラフ

  • カージオイドの面積

  • カージオイド曲線の長さ

カージオイド曲線のいろいろな表現

カージオイドは極方程式で表すのが最も簡潔ですが,別の表現もあります。

・媒介変数表示

rr を消去することによって媒介変数 θ\theta を用いて表現することができます。

x=rcosθx=r\cos\theta より, x=a(1+cosθ)cosθx=a(1+\cos\theta)\cos\theta

y=rsinθy=r\sin\theta より, y=a(1+cosθ)sinθy=a(1+\cos\theta)\sin\theta

こちらの形で出題されることもあります。

xyxy 座標での表示

rrθ\theta を両方消去することもできます。極方程式の両辺に rr をかけると r2=ar+arcosθr^2=ar+ar\cos\theta より ar=x2+y2axar=x^2+y^2-ax

この両辺を二乗すると a2(x2+y2)=(x2+y2ax)2a^2(x^2+y^2)=(x^2+y^2-ax)^2

もう少し整理することはできますが,あまり綺麗にはならないので xyxy 座標表示は覚える必要ありません。

カージオイドのグラフ

極方程式 r=a(1+cosθ)r=a(1+\cos\theta) からカージオイドのグラフの特徴がつかめます。

  • (r,θ)=(2a,0),(a,π2),(0,π)(r,\theta)=(2a,0),(a,\frac{\pi}{2}),(0,\pi) を通る
  • 0θπ0\leq \theta\leq \pi では θ\theta の増加に伴い rr は減少
  • (r,θ)(r,\theta) を通るなら (r,θ)(r,-\theta) も通るので xx 軸に関して対称

カージオイドのグラフ

なお,極値などを求めてグラフをもっときちんと書くには媒介変数表示&微分,増減表が必要です。

x=2asin32θcosθ2x'=-2a\sin\frac{3}{2}\theta\cos\frac{\theta}{2}y=2acos32θcosθ2y'=2a\cos\frac{3}{2}\theta\cos\frac{\theta}{2} となる)

グラフの形はハート型になるのでカージオイドは心臓形とも呼ばれます。

カージオイドの面積

カージオイド曲線 r=a(1+cosθ)r=a(1+\cos\theta) で囲まれた図形の面積は S=32πa2S=\dfrac{3}{2}\pi a^2

媒介変数表示を用いて xyxy 座標で計算することもできますが,極方程式のまま計算するのが楽です。 →極方程式の面積公式と例題

証明

極座標の面積公式より

S=1202πr2dθ=a2202π(1+cosθ)2dθ=a2202π(1+2cosθ+1+cos2θ2)dθS=\dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}r^2d\theta\\ =\dfrac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+\cos\theta)^2d\theta\\ =\dfrac{a^2}{2}\int_0^{2\pi}(1+2\cos\theta+\frac{1+\cos 2\theta}{2})d\theta

ここで,cosθ,cos2θ\cos\theta,\cos 2\theta は一周期ぶん積分すると 00 になるので

S=a22322π=32πa2S=\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot 2\pi=\dfrac{3}{2}\pi a^2 を得る。

カージオイド曲線の長さ

r=a(1+cosθ)(0θ2π)r=a(1+\cos\theta)\:(0\leq\theta\leq 2\pi) の長さは, l=8al=8a

こちらも極座標のまま計算するのが楽です。極座標の弧長積分公式は習いませんが,xyxy 座標の場合の考え方(→曲線の長さを計算する積分公式(弧長積分))と同様にして積分公式が得られます。

(dl)2=(rdθ)2+(dr)2(dl)^2=(rd\theta)^2+(dr)^2

l=θ1θ2r2+(drdθ)2dθ\to l=\displaystyle\int_{\theta_1}^{\theta_2}\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}d\theta

証明

上半分の長さの2倍と考える:

l=20πr2+(drdθ)2dθ=20πa2(1+cosθ)2+a2sin2θdθ=20π2a2+2a2cosθdθ=2a0π4cos2θ2dθ=4a0πcosθ2dθ=8al=2\int_0^{\pi}\sqrt{r^2+(\frac{dr}{d\theta})^2}d\theta\\ =2\int_0^{\pi}\sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta}d\theta\\ =2\int_0^{\pi}\sqrt{2a^2+2a^2\cos\theta}d\theta\\ =2a\int_0^{\pi}\sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}}d\theta\\ =4a\int_0^{\pi}\cos\frac{\theta}{2}d\theta\\ =8a

ちなみに,カージオイドという名前のペン回しの技があります。

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