カージオイド曲線のグラフ，面積，長さ

$x=r\cos\theta$ と $y=r\sin\theta$ に極方程式 $r=a(1+\cos\theta)$ を代入すると得る。

極方程式の両辺に $r$ をかけると $$r^2=ar+ar\cos\theta$$ より $$ar=x^2+y^2-ax$$

さらに両辺を二乗すると $x$ と $y$ だけの式に変形できる。

極座標の面積公式より

$$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}r^2d\theta\\ &= \dfrac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} (1+\cos\theta)^2d \theta\\ &= \dfrac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} \left(1+2\cos\theta+\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \end{aligned}$$

ここで，$\cos\theta,\cos 2\theta$ は一周期ぶん積分すると $0$ になるので

$S=\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot 2\pi=\dfrac{3}{2}\pi a^2$ を得る。

上半分の長さの2倍と考える：

$$\begin{aligned} l &= 2 \int_0^{\pi} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta\\ &=2 \int_0^{\pi} \sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta} d\theta\\ &=2 \int_0^{\pi} \sqrt{2a^2+2a^2\cos\theta} d\theta\\ &=2a \int_0^{\pi} \sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}} d\theta\\ &=4a \int_0^{\pi} \cos\frac{\theta}{2} d\theta\\ &=8a \end{aligned}$$