カージオイド曲線のグラフ，面積，長さ

極方程式 $r=a(1+\cos\theta)$ を直交座標への変換式： $$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$$

に代入して $r$ を消去すると媒介変数表示を得る。

$0\leqq\theta\leqq\pi$ の範囲で考える。

微分すると

$\dfrac{dx}{d\theta}=a(-\sin\theta-2\cos\theta\sin\theta)\\=-a\sin\theta(1+2\cos\theta)$

これが $0$ になるのは $\theta=0,\dfrac{2}{3}\pi,\pi$

$\dfrac{dy}{d\theta}=a(\cos\theta-\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\ =a(2\cos^2\theta+\cos\theta-1)\\ =a(2\cos\theta-1)(\cos\theta+1)$

これが $0$ になるのは $\theta=\dfrac{\pi}{3},\pi$

以上より増減表は図のようになる。

確かにさきほど描いたグラフが得られる。

図において

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA_1}+\overrightarrow{A_1A_2}+\overrightarrow{A_2P}$

である。

• $\overrightarrow{OA_1}=\left(\dfrac{a}{2},0\right)$

• $\overrightarrow{A_1A_2}=a\left(\cos\theta,\sin\theta\right)$
  （円 $C_2$ の中心が $\theta$ だけ回転した時を考える）

• $\overrightarrow{A_2P}=\dfrac{a}{2}\left(\cos 2\theta,\sin 2\theta\right)$
  （そのとき $P$ は $x$ 軸の正の向きから $2\theta$ 回転している※）

以上より媒介変数表示は点 $P$ の座標を表すことで

$x=a\left(\dfrac{1}{2}+\cos\theta+\dfrac{1}{2}\cos 2\theta\right)\\ =a(1+\cos\theta)\cos\theta$

$y=a\left(\sin\theta+\dfrac{\sin 2\theta}{2}\right)\\ =a(1+\cos\theta)\sin\theta$

となりカージオイドの媒介変数表示と一致する。

極座標の面積公式より

$$\begin{aligned} S &= \dfrac{1}{2}\int_0^{2\pi}r^2d\theta\\ &= \dfrac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} (1+\cos\theta)^2d \theta\\ &= \dfrac{a^2}{2} \int_0^{2\pi} \left(1+2\cos\theta+\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \end{aligned}$$

ここで，$\cos\theta,\cos 2\theta$ は一周期ぶん積分すると $0$ になるので

$S=\dfrac{a^2}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot 2\pi=\dfrac{3}{2}\pi a^2$ を得る。

上半分の長さの2倍と考える：

$$\begin{aligned} l &= 2 \int_0^{\pi} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} d\theta\\ &=2 \int_0^{\pi} \sqrt{a^2(1+\cos\theta)^2+a^2\sin^2\theta} d\theta\\ &=2 \int_0^{\pi} \sqrt{2a^2+2a^2\cos\theta} d\theta\\ &=2a \int_0^{\pi} \sqrt{4\cos^2\frac{\theta}{2}} d\theta\\ &=4a \int_0^{\pi} \cos\frac{\theta}{2} d\theta\\ &=8a \end{aligned}$$

極方程式の両辺に $r$ をかけると $$r^2=ar+ar\cos\theta$$ より $$ar=x^2+y^2-ax$$

さらに両辺を二乗すると $x$ と $y$ だけの式に変形できる。