カージオイド曲線のグラフ,面積,長さ
極方程式 で表される曲線をカージオイド曲線と言う。
カージオイド曲線の性質を整理しました。
カージオイド曲線のいろいろな表現
カージオイドのグラフ
カージオイドの面積
カージオイド曲線の長さ
カージオイド曲線のいろいろな表現
カージオイドは極方程式で表すのが最も簡潔ですが,媒介変数表示, 座標で表現することもできます。
-
極方程式
-
媒介変数表示
-
直交座標
と に極方程式 を代入すると得る。
媒介変数表示は重要です。
極方程式の両辺に をかけると より
さらに両辺を二乗すると と だけの式に変形できる。
あまり綺麗にはならないので 座標表示は覚える必要ありません。
カージオイドのグラフ
極方程式 からカージオイドのグラフの特徴がつかめます。
- を通る
- では の増加に伴い は減少
- を通るなら も通るので 軸に関して対称
なお,極値などを求めてグラフをもっときちんと書くには媒介変数表示&微分,増減表が必要です。
(, となる)
グラフの形はハート型になるのでカージオイドは心臓形とも呼ばれます。
カージオイドの面積
カージオイド曲線 で囲まれた図形の面積は
媒介変数表示を用いて 座標で計算することもできますが,極方程式のまま計算するのが楽です。 →極方程式の面積公式と例題
極座標の面積公式より
ここで, は一周期ぶん積分すると になるので
を得る。
カージオイド曲線の長さ
の長さは,
こちらも極座標のまま計算するのが楽です。極座標の弧長積分公式:
は→曲線の長さを計算する積分公式(弧長積分)で解説しています。
上半分の長さの2倍と考える:
ちなみに,カージオイドという名前のペン回しの技があります。