極方程式の面積公式と例題

曲線 $C$ を極座標表示できないか考えてみる。 $C$ 上の点 $(x,y)$ における $r$ と $\theta$ を計算してみると，

$r=\sqrt{x^2+y^2}=e^{-t}\\ \tan\theta=\dfrac{y}{x}=\tan t$

となるので，$r=e^{-\theta}$ が曲線 $C$ の極座標表示であることが分かる。

よって，極座標の面積公式より，

$$\begin{aligned} S &= \int_0^{\tfrac{\pi}{2}}\dfrac{1}{2}e^{-2\theta}d\theta\\ &= \Big[ -\dfrac{e^{-2\theta}}{4} \Big]_0^{\tfrac{\pi}{2}}\\ &= \dfrac{1-e^{-\pi}}{4} \end{aligned}$$

$r=r(\theta)$ と $\theta=\alpha, \theta=t$ で囲まれた部分の面積を $S(t)$ とおく。

$t$ を少し大きくして $t+\Delta t$ としたときに $S(t)$ がどれくらい変化するか考えると，微小な扇型の面積を考えることにより $\dfrac{1}{2}m^2\Delta t\leq S(t+\Delta t)-S(t)\leq \dfrac{1}{2}M^2\Delta t$

ただし，$m$ は $t$ から $t+\Delta t$ 内の $r(\theta)$ の最小値で $M$ は最大値。

各辺を $\Delta t$ で割る：

$\dfrac{1}{2}m^2 \leq \dfrac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}\leq \dfrac{1}{2}M^2$

ここで，各辺 $\Delta t\to 0$ の極限を取る。 $r(t)$ は連続関数なので，左辺と右辺は $\dfrac{1}{2}r(t)^2$ に収束し，中辺は微分の定義より $S'(t)$ 。

よって，はさみ打ちの原理より， $S'(t)=\dfrac{1}{2}r(t)^2$

となり極座標の面積公式が示された。