なぜ定積分で面積が求まるのか

更新日時 2021/03/07
定積分と面積

y=f(x)y=f(x)x=a,x=bx=a,x=b および xx 軸で囲まれた部分の面積は,abf(x)dx\displaystyle\int_a^b f(x)dx という定積分で計算できる。 定積分と面積

(ただし,axba\leqq x\leqq b において f(x)0f(x)\geqq 0 とする)

目次
  • 定積分とは

  • 定積分で面積が求まる理由

  • 微分積分学の基本定理

定積分とは

面積について考える前に,そもそも定積分 abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx の意味を確認します。

定積分とは

abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx とは,F(b)F(a)F(b)-F(a) のこと

ただし,F(x)F(x) は微分すると f(x)f(x) になる関数。

12xdx\displaystyle\int_1^2 xdx を計算しよう。F(x)=x22F(x)=\dfrac{x^2}{2} は微分すると xx になるので,

12xdx=F(2)F(1)=222122=32\displaystyle\int_1^2 xdx\\ =F(2)-F(1)\\ =\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{1^2}{2}\\ =\dfrac{3}{2}

定積分で面積が求まる理由

定積分の定義を確認したところで,図の面積が abf(x)dx\displaystyle\int_a^b f(x)dxで計算できることを証明します。 定積分と面積

証明

y=f(x)y=f(x)x=a,x=t,xx=a, x=t, x 軸で囲まれた部分の面積を S(t)S(t) とおく。

定積分で面積が求まる理由

tt を少し大きくして t+Δtt+\Delta t としたときに S(t)S(t) がどれくらい変化するか考えると,図より,mΔtS(t+Δt)S(t)MΔtm\Delta t\leqq S(t+\Delta t)-S(t)\leqq M\Delta t

ただし,mmtt から t+Δtt+\Delta t 内の f(x)f(x) の最小値で MM は最大値。

各辺を Δt\Delta t で割る:

mS(t+Δt)S(t)ΔtMm\leqq \dfrac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}\leqq M

ここで,各辺 Δt0\Delta t\to 0 の極限を取る。左辺と右辺は f(t)f(t) に収束し,中辺は微分の定義より S(t)S'(t)

よって,はさみ打ちの原理より, S(t)=f(t)S'(t)=f(t)

本質的な部分はここまでです。遂に微分と面積が結びつきました。

あとは,積分定数の部分を調整して証明を完遂します。

上式の両辺を積分して,S(t)=F(t)+CS(t)=F(t)+C

ただし,CC は積分定数。

また,S(a)=0S(a)=0 なので t=at=a を代入して C=F(a)C=-F(a) が分かる。

求める面積は t=bt=b の場合なので

S(b)=F(b)+C=F(b)F(a)S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a)

微分積分学の基本定理

さきほどは定積分を

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

で定義しました。その結果,

abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx は図の面積である 定積分と面積

という定理が証明できました。一方,大学の教科書では「面積」を使って定積分を定義することが多いです(正確には「面積」というより「リーマン和」というものを考える)。つまり,大雑把に言うと

abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx とは図の面積のことである

と定義するのです。この定義をもとに議論すると,逆に

abf(x)dx=F(b)F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)

が定理として導けます。これを微分積分学の基本定理と呼びます。つまり,定積分には微分の逆面積という2つの同値な定義があると言えます。微分の逆面積が同じというのはおもしろいです。

面積が定積分(=微分の逆演算)で求まるというのは驚くべき事実です。

Tag:積分を用いた面積,体積の求積公式まとめ

Tag:数学2の教科書に載っている公式の解説一覧