なぜ定積分で面積が求まるのか

更新 2021/03/07

定積分と面積

$y=f(x)$ と $x=a,x=b$ および $x$ 軸で囲まれた部分の面積は， $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ という定積分で計算できる。定積分と面積

（ただし， $a\leqq x\leqq b$ において $f(x)\geqq 0$ とする）

定積分とは

面積について考える前に，そもそも定積分 $\displaystyle\int_a^bf(x)dx$ の意味を確認します。

定積分とは

$\displaystyle\int_a^bf(x)dx$ とは， $F(b)-F(a)$ のこと

ただし， $F(x)$ は微分すると $f(x)$ になる関数。

例

$\displaystyle\int_1^2 xdx$ を計算しよう。 $F(x)=\dfrac{x^2}{2}$ は微分すると $x$ になるので，

$\displaystyle\int_1^2 xdx\\ =F(2)-F(1)\\ =\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{1^2}{2}\\ =\dfrac{3}{2}$

定積分で面積が求まる理由

定積分の定義を確認したところで，図の面積が $\displaystyle\int_a^b f(x)dx$ で計算できることを証明します。定積分と面積

証明

$y=f(x)$ と $x=a, x=t, x$ 軸で囲まれた部分の面積を $S(t)$ とおく。

定積分で面積が求まる理由

$t$ を少し大きくして $t+\Delta t$ としたときに $S(t)$ がどれくらい変化するか考えると，図より， $m\Delta t\leqq S(t+\Delta t)-S(t)\leqq M\Delta t$

ただし， $m$ は $t$ から $t+\Delta t$ 内の $f(x)$ の最小値で $M$ は最大値。

各辺を $\Delta t$ で割る：

$m\leqq \dfrac{S(t+\Delta t)-S(t)}{\Delta t}\leqq M$

ここで，各辺 $\Delta t\to 0$ の極限を取る。左辺と右辺は $f(t)$ に収束し，中辺は微分の定義より $S'(t)$ 。

よって，はさみ打ちの原理より， $S'(t)=f(t)$

本質的な部分はここまでです。遂に微分と面積が結びつきました。

あとは，積分定数の部分を調整して証明を完遂します。

上式の両辺を積分して， $S(t)=F(t)+C$

ただし， $C$ は積分定数。

また， $S(a)=0$ なので $t=a$ を代入して $C=-F(a)$ が分かる。

求める面積は $t=b$ の場合なので

$S(b)=F(b)+C=F(b)-F(a)$

微分積分学の基本定理

さきほどは定積分を
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)
で定義しました。その結果，
∫abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx は図の面積である
という定理が証明できました。一方，大学の教科書では「面積」を使って定積分を定義することが多いです（正確には「面積」というより「リーマン和」というものを考える）。つまり，大雑把に言うと
∫abf(x)dx\displaystyle\int_a^bf(x)dx∫ab​f(x)dx とは図の面積のことである
と定義するのです。この定義をもとに議論すると，逆に
∫abf(x)dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a)
が定理として導けます。これを微分積分学の基本定理と呼びます。つまり，定積分には微分の逆・面積という2つの同値な定義があると言えます。微分の逆と面積が同じというのはおもしろいです。
面積が定積分（＝微分の逆演算）で求まるというのは驚くべき事実です。
Tag:積分を用いた面積，体積の求積公式まとめ
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この記事の監修者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！