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逆関数の微分公式を例題と図で理解する

更新日時 2021/03/07

dxdy=1dydx\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}

逆関数の微分は,もとの関数の微分の逆数

目次
  • とりあえず例題を解いてみる

  • 図で理解

  • 例題の解答を分かりやすく書き直す

とりあえず例題を解いてみる

例題

y=exy=e^x の微分が exe^x であることを用いて,y=logxy=\log x の導関数を求めよ。

解答

y=logxy=\log x の微分を求めたい。これを変形する(xx について解く)と,

x=eyx=e^y

この両辺を yy で微分すると,

dxdy=ey\dfrac{dx}{dy}=e^y

よって,逆関数の微分公式より,

dydx=1dxdy=1ey\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}}=\dfrac{1}{e^y}

となる。

最後に ey=xe^y=x を使うと,結局

dydx=1x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x} となる。

なお,逆関数の微分公式の他の応用例は,逆三角関数の重要な性質まとめをどうぞ。

図で理解

上記の例題は,逆関数の微分公式 dxdy=1dydx\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\frac{dy}{dx}} を知っていれば解くことができました。しかし,数式だけではこの公式の意味するところがよく分かりません。

そこで,逆関数の微分を図で理解してみましょう。以下,f(x)f(x) の逆関数を f1(x)f^{-1}(x) と表記します。

逆関数の微分のイメージ

図より,

y=f(x)y=f(x)(x0,y0)(x_0,y_0) における接線の傾きは,

y=f1(x)y=f^{-1}(x)(y0,x0)(y_0,x_0) における接線の傾きの逆数に等しい。

ということが分かります。

理由:

2本の接線は y=xy=x に関して対称(→逆関数の3つの定義と使い分け)。

y=xy=x に関して対称な2本の接線の傾きが互いに逆数の関係にあることは簡単に分かる。

例題の解答を分かりやすく書き直す

以上をふまえて,上記の例題の解答を書き直してみます。何をやっているかが分かりやすいと思います。

y=logxy=\log x の導関数を求めたい。

つまり,y=logxy=\log x(x0,y0)(x_0,y_0) における接線の傾き (*) を求めればよい。

これは「図による理解」で述べたことにより

y=exy=e^x(y0,x0)(y_0,x_0) における接線の傾き (**) の逆数に等しい。

y=exy=e^x の微分は y=exy'=e^x なので,

(**) は ey0e^{y_0} である。

よって,(*) は,1ey0\dfrac{1}{e^{y_0}} となる。

また,(x0,y0)(x_0,y_0)y=logxy=\log x 上の点なので,y0=logx0y_0=\log x_0 である。

結局,(*) は 1x0\dfrac{1}{x_0} となる。

この議論は定義域内の全ての x0x_0 で成り立つので,y=logxy=\log x の導関数は y=1xy=\dfrac{1}{x} である。

後半は楽しいですが,入試問題を解くためだけなら「とりあえず例題を解いてみる」の部分だけ理解できれば十分です。

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