1/3公式と1/12公式の意味と証明【二次関数・三次関数と面積】

$a > 0，\alpha <\beta$ の場合について証明する（他の場合も全く同様）。

愚直に計算するのではなく，「接線」であることを利用して被積分関数を因数分解する：

$\text{放物線の式}-\text{接線の式}=a(x-\alpha)^2$

よって，求める面積は

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^2dx=\dfrac{a}{3}(\beta-\alpha)^3$

放物線の二接線の交点でも紹介した有名な形であり，この公式1を使うと，二接線の交点の $x$ 座標は $\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ である。よって，求める面積を二分割して1/3公式を使うと，

$T=\dfrac{1}{3}|a|\left(\dfrac{|\beta-\alpha|}{2}\right)^3\cdot 2\\ =\dfrac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$

放物線の二接線の交点の公式2を使うと，

$S:T=2:1$

がわかる。また，後述する1/6公式より

$S=\dfrac{|a|}{6}|\beta-\alpha|^3$

以上より1/12公式が導ける。

$a>0$，$\alpha<\beta$ の場合について証明する（他の場合も全く同様。

$\text{接線の式}-\text{三次関数の式}=a(x-\alpha)^2(\beta-x)$

よって，求める面積は

$-\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^2(x-\beta)dx\\ =-a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2(x-\alpha+\alpha-\beta)dx\\ =-a\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^3dx-a(\alpha-\beta)\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^2dx\\ =-a\dfrac{(\beta-\alpha)^4}{4}+a\dfrac{(\beta-\alpha)^4}{3}\\ =\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^4$