二次関数の面積に関する1/3公式と1/12公式の証明

更新日時 2021/03/07

1/3公式とその証明

1/3公式

という3つのグラフで囲まれた部分の面積は，

$\dfrac{|a|}{3}|\beta-\alpha|^3$

証明

$a > 0，\alpha <\beta$ の場合について証明する（他の場合も全く同様）。

愚直に計算するのではなく，「接線」であることを利用して被積分関数を因数分解する：

$f(x)-\text{接線の式}=a(x-\alpha)^2$

よって，求める面積は

$\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^2dx=\dfrac{a}{3}(\beta-\alpha)^3$

1/12公式

放物線 $y=ax^2+bx+c$ の2本の接線の接点の $x$ 座標を $\alpha, \beta$ とおくとき，放物線と2本の接線で囲まれた部分の面積 $T$ は，

$T=\dfrac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$

1/12公式の証明を2通り紹介します。まずは，2分割して1/3公式を使う方法です。

1/12公式の証明その1

放物線の二接線の交点でも紹介した有名な形であり，この公式1を使うと，二接線の交点の $x$ 座標は $\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ である。よって，求める面積を二分割して1/3公式を使うと，

$T=\dfrac{1}{3}|a|\left(\dfrac{|\beta-\alpha|}{2}\right)^3\cdot 2\\ =\dfrac{|a|}{12}|\beta-\alpha|^3$

次は，有名な1/6公式(後述)を使った1/12公式の証明です。

1/12公式の証明その2

$S:T=2:1$

がわかる。また，後述する1/6公式より

$S=\dfrac{|a|}{6}|\beta-\alpha|^3$

以上より1/12公式が導ける。

1/3公式・1/12公式と似ている有名な公式に1/6公式があります。

1/6公式

6分の1公式

放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $px+q$ の交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta\:(\alpha < \beta)$ とおくとき，

放物線と直線で囲まれた部分の面積は，

$\dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$

証明は1/6公式とその証明を参照してください。

1/3公式・1/12公式・1/6公式は似ています！

$b,c$ や直線の式に直接依存せず $a$ と $\beta-\alpha$ のみで面積が決まります。
全て， $C|a|L^3$ （ただし $L=\beta-\alpha$ は区間幅）という形をしています。1/3公式では $C=\dfrac{1}{3}$ ，1/12公式では $C=\dfrac{1}{12}$ ，1/6公式では $C=\dfrac{1}{6}$ です。
証明のポイントは，「展開しない」です。因数分解された式の積分をわざわざ展開してから行うのではなく，うまく処理すれば計算が楽になります。これは非常に重要な考え方で，三次関数が関係してくる場合もしばしば使えます。
公式の丸暗記でかなりの時間短縮＆検算に役立ちます。

1/6公式と1/3公式は覚えておくべきです。1/12公式もたまに役立つので余力がある人は覚えておきましょう。