放物線の二接線の交点

いずれの公式も，放物線を平行移動して $y=ax^2$ の場合に限定しても一般性を失わない。

$A(p,ap^2),B(q,aq^2)$ とおくと，それぞれの接線の方程式は，

$y=2apx-ap^2, y=2aqx-aq^2$

よって，それらの交点 $P$ の座標は $\left(\dfrac{p+q}{2},apq\right)$

放物線と線分 $AB$ で囲まれた部分の面積 $S$ は，1/6公式より，$S=\dfrac{\left|a(p-q)^3\right|}{6}$

次に三角形 $ABP$ の面積 $S+T$ を求める。 $AB$ の中点 $M$ の座標は $\left(\dfrac{p+q}{2},\dfrac{ap^2+aq^2}{2}\right)$ より，

$S+T=\dfrac{1}{2}\left|\left(\dfrac{ap^2+aq^2}{2}-apq\right)(p-q)\right|\\=\dfrac{\left|a(p-q)^3\right|}{4}$

よって，$S+T:S=3:2$ より $S:T=2:1$

$A\left(p,\dfrac{1}{2}p^2\right),B\left(q,\dfrac{1}{2}q^2\right) (p < q)$ とおく。2本の接線の傾きはそれぞれ $p,q$ で直交するので $p=-\dfrac{1}{q}$

よって，$p < 0,q > 0$ となる。

また，$\frac{1}{6}$ 公式と上記の公式2，相加相乗平均の不等式より

$T=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{(q-p)^3}{6\cdot 2}\\ =\dfrac{1}{24}\left(q+\dfrac{1}{q}\right)^3\\ \geq\dfrac{1}{24}2^3\\ =\dfrac{1}{3}$

ただし，等号成立条件は $q=\dfrac{1}{q}$ ，つまり $p=-1,q=1$ のときである。