相加相乗平均の不等式：意味・例題・おもしろい証明

更新日時 2022/04/07

相加相乗平均の不等式についてくわしく解説します。

相加平均・相乗平均の意味からはじめて，応用問題・n変数の証明まで紹介します。

相加平均・相乗平均
等号成立条件
相加相乗平均の不等式の証明(2変数)
応用問題
3変数・n変数への拡張
相加相乗平均の不等式の証明(n変数)

相加平均・相乗平均

2つの正の数 $a,b$ に対して， $\dfrac{a+b}{2}$ のことを相加平均と言います。「普通の平均」です。
一方， $\sqrt{ab}$ のことを相乗平均と言います。

例

$2$ と $8$ の相加平均は $\dfrac{2+8}{2}=5$
$2$ と $8$ の相乗平均は $\sqrt{2\times 8}=\sqrt{16}=4$

この例では，相加平均は $5$ で，相乗平均の $4$ よりも大きいです。実は，これはいつでも成立します。

相加相乗平均の不等式

相加平均 $\geqq$ 相乗平均
つまり，すべての $a,b>0$ に対して $\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$

「相加平均・相乗平均の不等式」「AM-GM不等式」など他にもいろいろな言い方があります。

等号成立条件相加相乗平均の不等式において，等号が成立する必要十分条件は，a=ba=ba=b です。
a=ba=ba=b
のとき，相加平均は a+a2=a\dfrac{a+a}{2}=a2a+a​=a，相乗平均は a×a=a\sqrt{a\times a}=aa×a​=a で同じ値になります。
逆に「等号を満たすなら
a=ba=ba=b
である」ことは，後述の証明を読めばわかります。

相加相乗平均の不等式の証明(2変数)

証明

$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geqq 0$

は明らかに成立。左辺を展開すると，

$a+b-2\sqrt{ab}\geqq 0$

移項して $2$ で割ると，

$\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$

となり相加相乗平均の不等式を得る。

等号成立条件は， $\sqrt{a}-\sqrt{b}=0$ ，つまり $a=b$

応用問題

相加相乗平均の不等式の $\dfrac{a+b}{2}\geqq\sqrt{ab}$ の両辺を2倍して $a+b\geqq 2\sqrt{ab}$ という形で使われることが多いです。

例題

$x>0$ のとき， $x+\dfrac{9}{x}\geqq 6$ を証明せよ。

解答

$a=x,b=\dfrac{9}{x}$ とした相加相乗平均の不等式より， $x+\dfrac{9}{x}\geqq 2\sqrt{x\times\dfrac{9}{x}}=6$

このように，かけ算して定数になるような2つの数に対して相加相乗平均の不等式が使われることが多いです。

他の応用例

相加相乗平均の不等式は， $x+\dfrac{2}{x}$ などの，関数の最小値を計算するのに使える場合があります。
→相加相乗平均の不等式の応用〜関数の最小値を求める〜
相加相乗平均の不等式は，さらに複雑な不等式の証明に使われることが多いです。
→有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明
 →重み付き相加相乗平均の不等式の証明

3変数・n変数への拡張

相加相乗平均の不等式(3変数)

$a, b, c \geqq 0$ のとき， $\dfrac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$ が成立する。等号成立条件は， $a=b=c$

左辺が相加平均で，右辺が相乗平均です。3変数の場合の証明は，因数分解の公式とテクニック一覧の記事の後半で紹介しています。

相加相乗平均の不等式(n変数)

$a_1, a_2, \cdots, a_n \geqq 0$ のとき， $\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{i} \geqq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}$ が成立する。等号成立条件は， $a_1=a_2=\cdots=a_n$

ただし， $\sqrt[n]{\:}$ は $n$ 乗根を表し， $\displaystyle{{\prod_{i=1}^n a_i}}$ は $a_1$ から $a_n$ までの全ての積を取ったものを表します。

相加相乗平均の不等式の証明(n変数)相加相乗平均の不等式はとても有名であり，証明方法はたくさんあります。例えば,
一般的な数学的帰納法を用いる方法
forward-backward-induction(双方向帰納法)を用いる方法
(左辺)ー(右辺)を ana_nan​ の関数だと思って微分する方法
指数関数を用いる方法
などがあります（参照：wikipedia）。
今回はその中でも，個人的に好きな「指数関数を用いる方法」を紹介します。
※数Ⅲの知識が必要です。見やすくするために
exe^xex
 のことを
exp⁡(x)\exp(x)exp(x)
 と書きます。
証明
指数関数の有名な不等式
ex≥x+1⋯⋯(∗)
e^x\geq x+1 \quad\cdots\cdots (\ast)
ex≥x+1⋯⋯(∗)
を用いる。この不等式は有名なマクローリン型不等式である。
表記簡略化のため，
m=1n∑i=1nai\displaystyle m=\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}a_im=n1​i=1∑n​ai​
とおき，x=aim−1x=\dfrac{a_i}{m}-1x=mai​​−1
を (∗)(\ast)(∗) に代入する。
exp⁡(aim−1)≧aim
\exp\left( \dfrac{a_i}{m}-1 \right) \geqq \dfrac{a_i}{m}
exp(mai​​−1)≧mai​​
この式を
i=1i=1i=1
から
nnn
までつくり辺々掛け合わせると以下のようになる。
exp⁡(1m∑i=1nai−n)≧1mn∏i=1nai
\exp \left( \dfrac{1}{m} \sum_{i=1}^{n} a_{i} -n \right) \geqq  \dfrac{1}{m^n}\prod_{i=1}^n a_i
exp(m1​i=1∑n​ai​−n)≧mn1​i=1∏n​ai​
上の不等式において，左辺の指数の中身は
mmm
の定義より
000
と等しいので以下の式を得る。
mn≧∏i=1nai
m^n \geqq {\displaystyle \prod_{i=1}^n a_i}
mn≧i=1∏n​ai​
両辺の
nnn
乗根をとると
1n∑i=1nai≧∏i=1nain
\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{i} \geqq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}
n1​i=1∑n​ai​≧ni=1∏n​ai​​
となる。
次に等号成立条件について考える。(∗)(\ast)(∗) の等号成立条件は
x=0x=0x=0
 である。つまり，全ての
iii
 に対して
aim−1=0\dfrac{a_i}{m}-1=0mai​​−1=0
 が成立することであり，これは
a1=a2=⋯=ana_1=a_2=\cdots=a_na1​=a2​=⋯=an​
 であることと同値である。
横浜市立大学や徳島大学の入試問題として，この証明に関連する出題があったようです。
相加平均は一般的によく使う平均です。算術平均とも言います。相乗平均は「成長率」や「収益率」の計算のときなどに使います。幾何平均とも言います。
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この記事の編集者

マスオ

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！