相加相乗平均の不等式とそのエレガントな証明
のとき, という不等式が成立する。これを相加相乗平均の不等式と言う。
この記事では,相加相乗平均の不等式について詳しく解説します。
相加相乗平均の不等式の具体例
等号成立条件
二変数の場合の相加相乗平均の不等式の証明
相加相乗平均の不等式の応用
3変数への拡張
n変数への拡張
n変数の相加相乗平均の不等式の証明
相加相乗平均の不等式の具体例
相加相乗平均の不等式が成立していることを,具体例で確認してみましょう。
としてみると,
が成立しています。
なぜ相加相乗平均の不等式と言うのか
- 不等式の左辺を で割った のことを相加平均と言います。
- 不等式の右辺を で割った のことを相乗平均と言います。
つまり, という不等式は,相加平均は相乗平均以上であることを表しています。
等号成立条件
相加相乗平均の不等式において,等号が成立する必要十分条件は, です。
のときに等号が成立することは簡単に確認できます。逆に「等号を満たすなら である」ことは,後半の証明を読んでください。
二変数の場合の相加相乗平均の不等式の証明
とする。
である。よって となる。 であるため すなわち である。
等号が成立するとき, である。これは のときである。ゆえに等号成立条件は となる。
相加相乗平均の不等式の応用
-
相加相乗平均の不等式は, などの,関数の最小値を計算するのに使える場合があります。
→相加相乗平均の不等式の応用〜関数の最小値を求める〜 -
相加相乗平均の不等式は,さらに複雑な不等式の証明に使われることが多いです。
→有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明
→重み付き相加相乗平均の不等式の証明
n変数への拡張
のとき, が成立します。等号成立条件は, です。
ただし, は 乗根を表し, は から までの全ての積を取ったものを表します。
n変数の相加相乗平均の不等式の証明
相加相乗平均の不等式は有名な不等式であり,証明方法はたくさんあります。例えば,
- 一般的な数学的帰納法を用いる方法
- forward-backward-induction(双方向帰納法)を用いる方法
- (左辺)ー(右辺)を の関数だと思って微分する方法
- 指数関数を用いる方法
などがあります(参照:wikipedia)。
今回はその中でも,個人的に好きな「指数関数を用いる方法」を紹介します。
※数Ⅲの知識が必要です。見やすくするために のことを と書きます。
指数関数の有名な不等式
を用いる。この不等式は有名なマクローリン型不等式である。
表記簡略化のため, とおき, を に代入する。
この式を から までつくり辺々掛け合わせると以下のようになる。
上の不等式において,左辺の指数の中身は の定義より と等しいので以下の式を得る。
両辺の 乗根をとると
となる。
次に等号成立条件について考える。 の等号成立条件は である。つまり,全ての に対して が成立することであり,これは であることと同値である。
横浜市立大学や徳島大学の入試問題として,この証明に関連する出題があったようです。