相加相乗平均の不等式とそのエレガントな証明

相加相乗平均の不等式の具体例

相加相乗平均の不等式：

$a+b\geq 2\sqrt{ab}$

が成立していることを，具体例で確認してみましょう。

$a=2,b=8$ としてみると。

$2+8> 2\sqrt{2\times 8}$

が成立しています（左辺は10で右辺は8）。

等号成立条件

相加相乗平均の不等式：

$a+b\geq 2\sqrt{ab}$

において，等号が成立する必要十分条件は，$a=b$ です。

$a=b$ のときに等号が成立することは簡単に確認できます。逆に「等号を満たすなら $a=b$ である」ことは，後半の証明を読めば分かります。

なぜ相加相乗平均の不等式と言うのか

不等式の左辺を $2$ で割った $\dfrac{a+b}{2}$ のことを相加平均と言います。

また，不等式の右辺を $2$ で割った $\sqrt{ab}$ のことを相乗平均と言います。

つまり， $a+b\geq 2\sqrt{ab}$ という不等式は， 相加平均は相乗平均以上であることを表しています。

二変数の場合の相加相乗平均の不等式の証明

相加相乗平均の不等式の応用

相加相乗平均の不等式は，$x+\dfrac{2}{x}$ などの，関数の最小値を計算するのに使える場合があります： 相加相乗平均の不等式の応用〜関数の最小値を求める〜

また，相加相乗平均の不等式は，さらに複雑な不等式の証明に使われることが多いです： 有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明 重み付き相加相乗平均の不等式の証明

3変数への拡張

$a, b, c\geq0$ のとき，

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$

が成立します。等号成立条件は， $a=b=c$ です。

3変数の場合の相加相乗平均の不等式です。

この不等式の証明は，因数分解公式（3つの立方和）の中ほどで証明しています。

n変数への拡張

$a_1, a_2, \cdots, a_n\geq0$ のとき，

${\displaystyle \sum_{i=1}^n a_i\geq n\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}}$

が成立します。等号成立条件は， $a_1=a_2=\cdots=a_n$ です。

ただし，$\sqrt[n]{\:}$ は $n$ 乗根を表し，$\displaystyle{{\prod_{i=1}^n a_i}}$ は $a_1$ から $a_n$ までの全ての積を取ったものを表します。

n変数の相加相乗平均の不等式の証明

相加相乗平均の不等式は，有名な不等式であり，証明方法はたくさんあります。例えば,

• 一般的な数学的帰納法を用いる方法
• forward-backward-induction(双方向帰納法)を用いる方法
• (左辺)ー(右辺)を $a_n$ の関数だと思って微分する方法
• 指数関数を用いる方法

などがあります。（参照：wikipedia）

今回はその中でも最もエレガントな指数関数を用いる方法を紹介します。

（誘導付きで横浜市立大学の入試問題として出題されている

追記：誘導なしで徳島大学でも出題されたことがあるらしい）

※数Ⅲの知識が必要です。見やすくするために $e^x$ のことを $\exp(x)$ と書きます。

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