相加相乗平均の不等式とそのエレガントな証明

相加相乗平均の不等式の具体例

相加相乗平均の不等式が成立していることを，具体例で確認してみましょう。

$a=2,b=8$ としてみると，

$$\dfrac{2+8}{2}=5\\ \sqrt{2 \times 8} = 4\\ \dfrac{2+8}{2} > \sqrt{2 \times 8}$$

が成立しています。

等号成立条件

相加相乗平均の不等式において，等号が成立する必要十分条件は，$a=b$ です。

$a=b$ のときに等号が成立することは簡単に確認できます。逆に「等号を満たすなら $a=b$ である」ことは，後半の証明を読んでください。

二変数の場合の相加相乗平均の不等式の証明

相加相乗平均の不等式の応用

• 相加相乗平均の不等式は，$x+\dfrac{2}{x}$ などの，関数の最小値を計算するのに使える場合があります。
  →相加相乗平均の不等式の応用〜関数の最小値を求める〜

• 相加相乗平均の不等式は，さらに複雑な不等式の証明に使われることが多いです。
  →有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caのいろいろな証明
  →重み付き相加相乗平均の不等式の証明

3変数への拡張

$a, b, c \geqq 0$ のとき， $$\dfrac{a+b+c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}$$ が成立します。等号成立条件は，$a=b=c$ です。

3変数の場合の相加相乗平均の不等式です。

この不等式の証明は，因数分解公式（3つの立方和）の中ほどで証明しています。

n変数への拡張

$a_1, a_2, \cdots, a_n \geqq 0$ のとき， $$\dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n a_{i} \geqq \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}$$ が成立します。等号成立条件は， $a_1=a_2=\cdots=a_n$ です。

ただし，$\sqrt[n]{\:}$ は $n$ 乗根を表し，$\displaystyle{{\prod_{i=1}^n a_i}}$ は $a_1$ から $a_n$ までの全ての積を取ったものを表します。

n変数の相加相乗平均の不等式の証明

相加相乗平均の不等式は有名な不等式であり，証明方法はたくさんあります。例えば,

• 一般的な数学的帰納法を用いる方法
• forward-backward-induction(双方向帰納法)を用いる方法
• (左辺)ー(右辺)を $a_n$ の関数だと思って微分する方法
• 指数関数を用いる方法

などがあります（参照：wikipedia）。

今回はその中でも，個人的に好きな「指数関数を用いる方法」を紹介します。

※数Ⅲの知識が必要です。見やすくするために $e^x$ のことを $\exp(x)$ と書きます。

横浜市立大学や徳島大学の入試問題として，この証明に関連する出題があったようです。

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