相加相乗平均の不等式を用いて関数の最小値を求める

$x$ と $\dfrac{1}{x}$ に相加相乗平均の不等式を使うと，

$x+\dfrac{1}{x}\geq 2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}=2$

そして，等号成立条件は $x=\dfrac{1}{x}$，つまり $x=1$。

よって，$x=1$ のとき最小値2を取る。

$x+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{x^2}$

と分解する。右辺の3つの数に相加相乗平均の不等式を適用すると，

$\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{x^2}\\ \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{x}{2}\cdot \dfrac{1}{x^2}}\\ =3\sqrt[3]{\dfrac{1}{4}}$

等号成立条件は，$\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{x^2}$

つまり，$x=\sqrt[3]{2}$ のとき。

$x^2+\dfrac{1}{\sqrt{x}}\\ =x^2+\dfrac{1}{4\sqrt{x}}+\dfrac{1}{4\sqrt{x}}+\dfrac{1}{4\sqrt{x}}+\dfrac{1}{4\sqrt{x}}\\ \geq 5\sqrt[5]{x^2\cdot \dfrac{1}{4\sqrt{x}} \cdot\dfrac{1}{4\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{4\sqrt{x}}\cdot\dfrac{1}{4\sqrt{x}}}\\ =5\sqrt[5]{\dfrac{4}{4^5}}\\ =\dfrac{5}{4}\sqrt[5]{4}$

等号成立条件は，$x^2=\dfrac{1}{4\sqrt{x}}$

つまり，$x=4^{-\frac{2}{5}}$ のときに最大値 $-\dfrac{5}{4}\sqrt[5]{4}$ を取る。

相加相乗平均の不等式より，

$(a_2+1)^2\geq 2^2a_2$

$(a_3+1)^3=\left(a_3+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\right)^3\geq \dfrac{3^3}{2^2}a_3$

$\vdots$

$(a_n+1)^n=\left(a_n+\dfrac{1}{n-1}+\cdots+\dfrac{1}{n-1}\right)^n\,\geq \dfrac{n^n}{(n-1)^{n-1}}a_n$

これらを辺々掛けあわせれば目標の不等式を得る（等号成立条件が全て満たされることはないので$\geq$が$>$になる）。