isolated fudging

左辺第一項を下からおさえる不等式

$$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}\geqq \dfrac{a^{\tfrac{4}{3}}}{a^{\tfrac{4}{3}}+b^{\tfrac{4}{3}}+c^{\tfrac{4}{3}}}\quad\cdots (1)$$ を示せばそのような不等式（第二項，第三項を下からおさえる不等式）を3つ足しあわせて証明できる。

(1)の両辺を2乗して整理する。 $$b^{\tfrac{8}{3}}+c^{\tfrac{8}{3}}+2(ab)^{\tfrac{4}{3}}+2(bc)^{\tfrac{4}{3}}+2(ca)^{\tfrac{4}{3}}\geqq 8a^{\tfrac{2}{3}}bc$$ これは，$b^{\frac{8}{3}}$ と $c^{\frac{8}{3}}$ を1つずつと $(ab)^{\frac{4}{3}}, (bc)^{\frac{4}{3}}, (ca)^{\frac{4}{3}}$ を2つずつ計8個に相加相乗平均の不等式を適用した不等式である！

うまく $r$ を持ってきて，

第一項 $\geqq \dfrac{x^r}{x^r+y^r+z^r}$ を示せばよいがこれを整理すると， $$(1+xy+xz)(x^r+y^r+z^r)-x^r(1+y+z)^2\geqq 0$$ である。この左辺を $f(x,y,z)$ とおくと，$f(1,1,1)=0$ なので，さきほどの例と同様に $\dfrac{\partial f}{\partial x}(1,1,1)=0$ が必要。

これを頑張って計算すると，$6+3r-9r=0$ より $r=1$ となる。

あとは，$r=1$ とした式 $$(1+xy+xz)(x+y+z)-x(1+y+z)^2\geqq 0$$ を示せば良い。示すべき不等式は展開して整理すると，$$x^2(y+z)-2x(y+z)+(y+z)\geqq 0$$ つまり $(x-1)^2(y+z)\geqq 0$ となり確かに成立している。