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偏微分の意味と高校数学への応用

更新日時 2021/03/07

偏微分とは,多変数関数を「特定の文字以外定数だとみなして」微分したもののことです。

偏微分について,高校数学の範囲で理解できるように解説します。一見難しそうな偏微分ですが,概念自体は難しくありません。

目次
  • 偏微分の意味

  • 偏微分の記号

  • 偏微分の計算例

  • 偏微分の正確な定義

  • 偏微分についての小話

  • 偏微分の高校数学への応用

偏微分の意味

例えば,

f(x,y)=x2+y3+5y+xyf(x,y)=x^2+y^3+5y+xy

という,xxyy についての関数を考えてみます。

これを「 xx 以外は定数とみなして」微分すると,2x+y2x+y となります。つまり xx についての偏微分は 2x+y2x+y となります。

このように,特定の文字以外を定数とみなして微分したものを偏微分(偏導関数)と言います。「偏微分」というたいそうな名前がついていますが,微分の計算自体は一変数の場合と全く同じです。

偏微分の記号

xx についての偏微分は f(x,y)x,fx\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x},\:f_x などの記号を使って表します。

また,yy についての偏微分は f(x,y)y,fy\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y},\:f_y などの記号を使って表します。

偏微分の計算例

偏微分に慣れるために,もう1つ計算例を見てみます。

f(x,y)=sin(x+2y)+ex+logyf(x,y)=\sin(x+2y)+e^{x}+\log y

のとき,

xx に関する偏微分は(yy を定数だとみなして微分すると)

f(x,y)x=cos(x+2y)+ex\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\cos (x+2y)+e^x

yy に関する偏微分は(xx を定数だとみなして微分すると)

f(x,y)y=2cos(x+2y)+1y\dfrac{\partial f(x,y)}{\partial y}=2\cos(x+2y)+\dfrac{1}{y}

偏微分の正確な定義

偏微分の定義をきちんと書いてみます。

一変数関数 f(x)f(x) の微分とは,変数を少し動かしたときの変化の割合を表していました:

limh0f(x+h)f(x)h\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

同様に,偏微分とは, 特定の一つの変数のみを少し動かしたときの関数 ff の変化の割合を表します。例えば f(x,y)f(x,y)xx についての偏微分は

limh0f(x+h,y)f(x,y)h\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}

となります。

偏微分についての小話

  • 偏微分が難しいのは高階微分が登場する場合や,εδ\varepsilon -\delta 論法を用いて厳密に議論する場合です。高校数学では高階の偏微分や εδ\varepsilon -\delta は覚える必要はないので敬遠する必要はありません。 →イプシロンデルタ論法とイプシロンエヌ論法

  • ちなみに,多変数関数にはもう一つ「全微分」という概念があります。これは,全ての変数を少し動かしたときの関数 ff の変化の割合のようなもので,偏微分よりもやや難しいです。

  • 高校数学では偏微分も全微分も登場しませんが,偏微分は知っているとよいことがあります。(後述の応用参照)

偏微分の高校数学への応用

偏微分の応用を5つ紹介します。いずれも高校数学の範囲で理解できます。

まずは高校数学における最も簡単な応用から。

入試でも役立つ偏微分。法線ベクトルの考え方はいろいろな場面で役立つのでかなりオススメです。

けっこう役立ちます。おすすめ!

数学オリンピックの不等式証明問題でも偏微分が活躍します。

ラグランジュの未定乗数法に関するごく基礎的なこと。

偏微分が難しくなるのは大学入ってからです。

Tag:数検1級の範囲と必要な公式まとめ

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