二変数の二次関数

上記の $f(x,y)$ に関する 頻出の問題としては，

• $f(x,y)$ の最大値（最小値）とそのときの $(x, y)$ を求める問題
• 不等式 $f(x, y)\geq 0$ を証明する問題

などがあります。

不等式の問題は最小値を求める問題に帰着されるので，ここからは最小化問題（以下の例題）を考えていきます。

このページでは，二変数の二次関数の最小値を求める3つの方法を紹介します。

いろいろな解法を知っておくと，問題が多少変形されたときにもどれかの解法が使えて助かった！ということが往々にしてあるので，平方完成以外の方法もぜひ覚えてください。

また，$y$ について先に平方完成しても同様にできます：

$f(x,y)=2(y+\dfrac{x}{2}+1)^2+\dfrac{x^2}{2}-8{x}-3\\ =2(y+\dfrac{x}{2}+1)^2+\dfrac{1}{2}(x-8)^2-35$

ただし，$x^2$ の係数が1であるのに対して $y^2$ に対する係数が $2$ なので計算途中で分数が出現してしまいます。一般的に 二次の係数の絶対値が1である変数について整理した方が計算が楽です。

次は，ちょっとズルいですが，計算が楽なので検算に役立つ方法です。

$x=8,y=-5$ は最小値を与える必要条件に過ぎません。

一般に微分が $0$ となったからと言って最小値を与えるとは限らないのでご注意下さい。ただ，二変数の二次関数では多くの場合「最小値を与える候補」が一つに絞られるので， 最小値が存在することを仮定すれば答えが求まります。

この解法は本質的に平方完成と同じなので実践では平方完成を用いた方がスマートです。ただし，判別式の考え方は重要なのでマスターしておいてください。

判別式を用いた解法の例：

• シュワルツの不等式とそのエレガントな証明の証明部分
• エルデス・モーデルの定理の証明の証明の最後の部分

なお，→高校数学の問題集　～最短で得点力を上げるために～のT47では，このような問題で計算ミスを減らすためのコツも紹介しています。

Tag:偏微分の高校数学への応用