分母に項が３つある場合の有理化

分母を有理化する必要があるのは，分母が $\sqrt{a}$ や $a+b\sqrt{p}$ など項の数が1つか2つであることが多いです。その場合は簡単に有理化できます。→分母の有理化や実数化を行う理由

しかし，分母が3項の場合の有理化も頻出なのでやり方を覚えておきましょう。

• 例1では分母分子に $1-\sqrt{2}+\sqrt{3}$ や$-1+\sqrt{2}+\sqrt{3}$ をかけても有理化できますが，解答のやり方が一番計算が楽です。一般に，分母が $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ で $a+b=c$ になるときは $\sqrt{a}+\sqrt{b}-\sqrt{c}$ をかけるのが楽です。

• 例2にあるように，分母の3項のうち2つ以上がマイナス符号のときは分母分子を$-1$ 倍した方が見やすくなります（マイナスを分子におしつける）。

• 計算ミスをしやすい問題なので必ず検算しましょう。 自分の計算を見直すのもよいですが，「答え×もとの分母＝もとの分子」になっていることを確認すれば確実です！

  • 例1の検算：$(\sqrt{2}+2-\sqrt{6})(1+\sqrt{2}+\sqrt{3})=4$ を確認。
  • 例2の検算：$(2\sqrt{3}+3\sqrt{2}+\sqrt{30})(\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{2})=-12$ を確認。

最短で得点力を上げる！高校数学の問題集〈典型250問〉の問題2では，有理化で計算ミスをしないためのコツも紹介しています。