複素数の範囲での因数分解の例題4問

整数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

$x^2+2x+3=0$ の解は解の公式より $x=-1\pm\sqrt{2}i$

よって，複素数の範囲で因数分解すると，

$x^2+2x+3=(x+1+\sqrt{2}i)(x+1-\sqrt{2}i)$

$x^2$ をひとかたまりと見ることにより，$(x^2-2)(x^2+1)$

と因数分解できる。整数の範囲ではここまで。

さらに，実数の範囲では，$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2+1)$

と因数分解できる。

さらに，複素数の範囲では，

$(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x+i)(x-i)$

と因数分解できる。

$x^n-1=0$ の解は，（$\zeta=e^{\frac{2\pi i}{n}}$ とおくと）$\zeta,\zeta^2,\cdots,\zeta^n=1$ の $n$ 個である。

よって，

$x^n-1=\displaystyle\prod_{k=1}^n(x-\zeta^k)=(x-\zeta)(x-\zeta^2)\cdots (x-\zeta^n)$

$\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおく（$\omega^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}$ ）と，

$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx$ =$(x+\omega y+\omega^2z)(x+\omega^2y+\omega z)$

($x$についての二次方程式を解くことでも導出できるし，１の三乗根オメガの性質を用いて式の正しさを証明することもできる）