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複素数の範囲での因数分解の例題4問

更新日時 2021/03/07

与えられた多項式を「○○の範囲で因数分解する」とは,○○係数の多項式の積に(できるだけ細かく)分解するという意味。

(○○には複素数,整数,有理数,実数などが入る)

因数分解の問題で特に指示がない場合は「整数の範囲で」因数分解すればOKですが,この記事では複素数の範囲での因数分解について考えます。

目次
  • 因数分解の方法

  • 簡単な例題

  • 発展例題

因数分解の方法

二次多項式 x2+ax+bx^2+ax+b は,

x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 の解を x1,x2x_1, x_2 とすると,

x2+ax+b=(xx1)(xx2)x^2+ax+b=(x-x_1)(x-x_2)

のように(複素数の範囲で)因数分解できます(nn 次多項式でも同様,複素数の範囲なら必ず一次式の積に分解できる)。

簡単な例題

例題1(二次式)

x2+2x+3x^2+2x+3 を複素数の範囲で因数分解せよ。

解答

整数の範囲ではこれ以上因数分解できない。

x2+2x+3=0x^2+2x+3=0 の解は解の公式より x=1±2ix=-1\pm\sqrt{2}i

よって,複素数の範囲で因数分解すると,

x2+2x+3=(x+1+2i)(x+12i)x^2+2x+3=(x+1+\sqrt{2}i)(x+1-\sqrt{2}i)

例題2(四次式)

x4x22x^4-x^2-2 を複素数の範囲で因数分解せよ。

解答

x2x^2 をひとかたまりと見ることにより,(x22)(x2+1)(x^2-2)(x^2+1)

と因数分解できる。整数の範囲ではここまで。

さらに,実数の範囲では,(x+2)(x2)(x2+1)(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x^2+1)

と因数分解できる。

さらに,複素数の範囲では,

(x+2)(x2)(x+i)(xi)(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})(x+i)(x-i)

と因数分解できる。

発展例題

例題3

xn1x^n-1 を複素数の範囲で因数分解せよ。

解答

xn1=0x^n-1=0 の解は,(ζ=e2πin\zeta=e^{\frac{2\pi i}{n}} とおくと)ζ,ζ2,,ζn=1\zeta,\zeta^2,\cdots,\zeta^n=1nn 個である。

よって,

xn1=k=1n(xζk)=(xζ)(xζ2)(xζn)x^n-1=\displaystyle\prod_{k=1}^n(x-\zeta^k)=(x-\zeta)(x-\zeta^2)\cdots (x-\zeta^n)

例題4

x2+y2+z2xyyzzxx^2+y^2+z^2-xy-yz-zx を複素数の範囲で因数分解せよ。

解答

ω=1+3i2\omega=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2} とおく(ω2=13i2\omega^2=\dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2} )と,

x2+y2+z2xyyzzxx^2+y^2+z^2-xy-yz-zx =(x+ωy+ω2z)(x+ω2y+ωz)(x+\omega y+\omega^2z)(x+\omega^2y+\omega z)

(xxについての二次方程式を解くことでも導出できるし,1の三乗根オメガの性質を用いて式の正しさを証明することもできる)

例題4の式,何かの役に立つわけではありませんが,美しいです。

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