二直線のなす角を求める２通りの方法と比較

二直線の式は，$y=\sqrt{3}x$ と $y=(2-\sqrt{3})x$ である。

よって，傾きは，$m_1=\sqrt{3}$ と $m_2=2-\sqrt{3}$ である。

よって，タンジェントの加法定理より，

$$\begin{aligned} \tan\theta &= \dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\\ &=\dfrac{2\sqrt{3}-2}{1+\sqrt{3} (2-\sqrt{3})}\\ &=1 \end{aligned}$$

となり $\theta=45^{\circ}$

ベクトルの内積を2通りで表す。

• 成分表示すると $a_1b_1+a_2b_2$
• 長さを使うと，$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta'$

よって，

$$\begin{aligned} &(a_1b_1+a_2b_2)\\ &=\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}\cos\theta' \end{aligned}$$

これを $\cos\theta'$ について解くと公式を得る。

二直線の法線ベクトルはそれぞれ $(\sqrt{3},-1),\:(2-\sqrt{3},-1)$ であるので，これらのなす角 $\theta'$ を求めればよい（$\theta'\leq 90^{\circ}$ なら $\theta=\theta'$，$\theta' > 90^{\circ}$ なら $\theta=180^{\circ}-\theta'$ であることに注意）。

ここで，ベクトルの内積を二通りで表すと，

$$\begin{aligned} &\sqrt{3}\cdot (2-\sqrt{3})+(-1)(-1)\\ &=\left(\sqrt{3+1}\sqrt{(2-\sqrt{3})^2+1}\right)\cos\theta' \end{aligned}$$

となるので，

$$\begin{aligned} \cos\theta'&=\dfrac{2\sqrt{3}-3+1}{\sqrt{3+1}\sqrt{1+(2-\sqrt{3})^2}}\\ &=\dfrac{2\sqrt{3}-2}{2\sqrt{2}\sqrt{4-2\sqrt{3}}} \end{aligned}$$

ここで，分母の二重根号は外せる（注）（$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$）ので，

$$\cos\theta'=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

となる。よって法線ベクトルのなす角が $45^{\circ}$ であるので，二直線のなす角も $45^{\circ}$

公式1によると，

$$\begin{aligned} 1+\tan^2\theta &= 1+\dfrac{(a_1b_2-a_2b_1)^2}{(a_1b_1+a_2b_2)^2}\\ &=\dfrac{(a_1b_1+a_2b_2)^2+(a_1b_2-a_2b_1)^2}{(a_1b_1+a_2b_2)^2} \end{aligned}$$

ここでブラーマグプタ・フィボナッチ恒等式を発動（知らなくてもただ計算すればよいだけ）すると，

上式は $\dfrac{(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)}{(a_1b_1+a_2b_2)^2}$ と計算できる。

これは公式2による $\cos\theta$ の逆数の二乗に等しい！