二次方程式の解の公式の3通りの証明
更新日時 2021/03/07
二次方程式の解の公式:
の解は,
中学校で習う超基礎的で重要な公式です。
解の公式を3通りの方法で証明します。
目次
平方完成による証明
代入による証明
和と積を計算する方法
平方完成による証明
まずは平方完成を用いた定番の証明です。
証明1
の左辺を平方完成していく。
右辺を通分して両辺を で割る:
両辺のルートを取る:
を移項する:
注: の場合は と解釈してください。
代入による証明
解の公式を導出するというよりも「解の公式を知っているもとでその正しさを証明する」という天下り的なスタンスです。
和と積を計算する方法
こちらも証明2と同じく解の公式を天下り的に証明する方法です。
証明3
とおく。このとき簡単な計算により, が分かる。
が恒等式であることを証明すればよい。そこで,各次数の係数を調べる。
- 二次の係数:両辺ともに
- 一次の係数:左辺は ,右辺は
- 定数項:左辺は ,右辺は
知っている公式の別証明から学ぶことも多々あります。