二次方程式の解の公式の３通りの証明

$ax^2+bx+c=0$ の左辺を平方完成していく。

$a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=0$

$a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}\right)-\dfrac{b^2}{4a}+c=0$

$a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a}-c$

右辺を通分して両辺を $a$ で割る：
$\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$

両辺のルートを取る：
$x+\dfrac{b}{2a}=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\dfrac{b}{2a}$ を移項する：
$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• 二次方程式の解は（重解は二つとカウントすると）必ず二つである。→代数学の基本定理とその初等的な証明
• $\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ は確かに二次方程式の解である（以下のように代入によって簡単に確認できる）。

$a\left(\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2+b\left(\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)+c\\ =\dfrac{b^2\mp 2b\sqrt{b^2-4ac}+b^2-4ac}{4a}\\+b\dfrac{-2b\pm 2\sqrt{b^2-4ac}}{4a}+\dfrac{4ac}{4a}\\ =0$

$\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

とおく。このとき簡単な計算により，

$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$

が分かる。

$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$
が恒等式であることを証明すればよい。

そこで，各次数の係数を調べる。

• 二次の係数：両辺ともに $a$
• 一次の係数：左辺は $b$，右辺は$-a(\alpha+\beta)=-a\cdot (-\dfrac{b}{a})=b$
• 定数項：左辺は $c$，右辺は $a\alpha\beta=a\cdot \dfrac{c}{a}=c$