二次方程式の解の公式の3通りの証明

更新日時 2022/03/29

二次方程式の解の公式

二次方程式の解の公式を3通りの方法で証明します。

目次
  • 解の公式

  • 平方完成による証明

  • 代入による証明

  • 和と積の計算による公式の導出

  • 解の公式の覚え方

  • 【応用】一次の項の係数が偶数のときの解の公式

解の公式

二次方程式の解の公式

ax2+bx+c=0(a0)ax^2+bx+c=0\:(a\neq 0) の解は,

x=b±b24ac2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

この公式は a,b,ca,b,c がどのような数であっても成り立つ,非常に強力なものとなっています。ぜひ導出までできるようになっておきましょう。

また,解の公式のルートの中身

D=b24acD=b^2 - 4ac

は判別式と呼ばれ,二次方程式を考える上で重要な役割を果たしています。これについては,二次方程式の判別式についての知識まとめ をご覧ください。

平方完成による証明

まずは平方完成を用いた定番の証明です。

証明1

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 の左辺を平方完成していく。

a(x2+bax)+c=0a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x\right)+c=0

a(x2+bax+b24a2)b24a+c=0a\left(x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{b^2}{4a^2}\right)-\dfrac{b^2}{4a}+c=0

a(x+b2a)2=b24aca\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2}{4a}-c

右辺を通分して両辺を aa で割る:
(x+b2a)2=b24ac4a2\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2=\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}

両辺のルートを取る:
x+b2a=±b24ac2ax+\dfrac{b}{2a}=\pm \dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

b2a\dfrac{b}{2a} を移項する:
x=b±b24ac2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

注: D=b24ac<0D=b^2-4ac <0 の場合は D=Di\sqrt{D}=\sqrt{-D}i と解釈してください。

代入による証明

解の公式を導出するというよりも「解の公式を知っているもとでその正しさを証明する」という天下り的な証明です。

証明2
  • 二次方程式の解は(重解は二つとカウントすると)必ず二つである。→代数学の基本定理とその初等的な証明
  • b±b24ac2a\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} は確かに二次方程式の解である(以下のように代入によって簡単に確認できる)。

a(b±b24ac2a)2+b(b±b24ac2a)+c=b22bb24ac+b24ac4a+b2b±2b24ac4a+4ac4a=0a\left(\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)^2+b\left(\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right)+c\\ =\dfrac{b^2\mp 2b\sqrt{b^2-4ac}+b^2-4ac}{4a}\\+b\dfrac{-2b\pm 2\sqrt{b^2-4ac}}{4a}+\dfrac{4ac}{4a}\\ =0

和と積の計算による公式の導出

こちらも証明2と同じく解の公式を天下り的に証明する方法です。

証明3

α=b+b24ac2a,β=bb24ac2a\alpha=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},\beta=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

とおく。このとき簡単な計算により,

α+β=ba,αβ=ca\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},\alpha\beta=\dfrac{c}{a}

が分かる。

ax2+bx+c=a(xα)(xβ)ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)
が恒等式であることを証明すればよい。

そこで,各次数の係数を調べる。

  • 二次の係数:両辺ともに aa
  • 一次の係数:左辺は bb,右辺はa(α+β)=a(ba)=b-a(\alpha+\beta)=-a\cdot (-\dfrac{b}{a})=b
  • 定数項:左辺は cc,右辺は aαβ=aca=ca\alpha\beta=a\cdot \dfrac{c}{a}=c

ここで求めた α+β=ba\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}αβ=ca\alpha \beta=\dfrac{c}{a} は解と係数の関係と呼ばれ,二次方程式の問題ではよく使うことになります。詳しくは 二次方程式における解と係数の関係 をご覧ください。

解の公式の覚え方

二次方程式の解の公式

x=b±b24ac2ax=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

には,特に強力な語呂合わせはありません。

この公式と睨めっこするだけでなく,解の公式を用いて二次方程式を繰り返し解くことで,頭に馴染ませていくことをおすすめします。

【応用】一次の項の係数が偶数のときの解の公式

二次方程式において一次の項の係数が偶数のとき,解の公式はよりシンプルになります。

二次方程式の解の公式2

ax2+2bx+c=0(a0)ax^2+2b'x+c=0\:(a \neq 0) の解は,

x=b±b2acax=\dfrac{-b' \pm \sqrt{b'^2-ac}}{a}

二次方程式の解の公式で b=2bb=2b' とするとこの公式が得られます。

知っている公式の別証明から学ぶことも多々あります。

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