二次方程式の解の公式の3通りの証明
二次方程式の解の公式を3通りの方法で証明します。
解の公式
平方完成による証明
代入による証明
和と積の計算による公式の導出
解の公式の覚え方
【応用】一次の項の係数が偶数のときの解の公式
解の公式
の解は,
この公式は がどのような数であっても成り立つ,非常に強力なものとなっています。ぜひ導出までできるようになっておきましょう。
また,解の公式のルートの中身
は判別式と呼ばれ,二次方程式を考える上で重要な役割を果たしています。これについては,二次方程式の判別式についての知識まとめ をご覧ください。
平方完成による証明
まずは平方完成を用いた定番の証明です。
の左辺を平方完成していく。
右辺を通分して両辺を
で割る:
両辺のルートを取る:
を移項する:
注: の場合は と解釈してください。
代入による証明
解の公式を導出するというよりも「解の公式を知っているもとでその正しさを証明する」という天下り的な証明です。
和と積の計算による公式の導出
こちらも証明2と同じく解の公式を天下り的に証明する方法です。
とおく。このとき簡単な計算により,
が分かる。
が恒等式であることを証明すればよい。
そこで,各次数の係数を調べる。
- 二次の係数:両辺ともに
- 一次の係数:左辺は ,右辺は
- 定数項:左辺は ,右辺は
ここで求めた , は解と係数の関係と呼ばれ,二次方程式の問題ではよく使うことになります。詳しくは 二次方程式における解と係数の関係 をご覧ください。
解の公式の覚え方
二次方程式の解の公式
には,特に強力な語呂合わせはありません。
この公式と睨めっこするだけでなく,解の公式を用いて二次方程式を繰り返し解くことで,頭に馴染ませていくことをおすすめします。
【応用】一次の項の係数が偶数のときの解の公式
二次方程式において一次の項の係数が偶数のとき,解の公式はよりシンプルになります。
の解は,
二次方程式の解の公式で とするとこの公式が得られます。
知っている公式の別証明から学ぶことも多々あります。