平方完成のやり方といくつかの発展形

$x^2+2x+3=(x+1)^2+2$

1. $x^2$ の係数は2であるから，

$$2x^2-12x+3= 2(x^2 - 6x) +3$$

2. $x$ の係数は6であるから，その半分の２乗は $3^2 =9$。したがって

$$2x^2-12x+3= 2(x^2 - 6x +9 -9) +3$$

3. $x^2 - 6x +9= (x-3)^2$ であるから

$$2x^2-12x+3= 2((x-3)^2 -9) +3$$

4. 定数項を計算すると

$$2(-9) +3 = -15$$

よって $q=-15$

以上より，答えは $$2x^2-12x+3=2(x-3)^2-15$$

右辺の一次の係数が $3$ となるように $p$ を定めると，

$2x^2+3x+1=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+q$

次に定数項を比較すると $1=\dfrac{9}{8}+q$ より $q=-\dfrac{1}{8}$

よって，答えは $2x^2+3x+1=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2-\dfrac{1}{8}$

方針は全く同じ。まず $p$ を決める：

$-3x^2+5x=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+q$

（一次の係数は $5=-3\left(-2\cdot\dfrac{5}{6}\right)$ となり一致している！）

次に $0=-\dfrac{25}{12}+q$ より $q=\dfrac{25}{12}$

$-3x^2+5x=-3\left(x-\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{25}{12}$

まず二次の係数を見て $p$ を決める。

$x^3+3x^2=(x+1)^3+qx+r$

次に一次の項と定数項を調節すると $q=-3,r=-1$ を得る：

$x^3+3x^2=(x+1)^3-3x-1$

$(x^2+px+q)^2+rx+s$ と変形できるとする。

まず，三次の項を比較して $2p=-2$ より $p=-1$

さらに二次の項を比較して $p^2+2q=0$ より $q=-\frac{1}{2}$

あとは $r,s$ も調節すると，

$x^4-2x^3+1=(x^2-x-\frac{1}{2})^2-x+\frac{3}{4}$ を得る。