整数論のテクニック：平方数でないことの証明

$m$ が $3$ の倍数のとき $m^2$ も $3$ の倍数。

$m$ が $3$ で割って $1$ 余る場合 or $2$ 余る場合は，$m^2$ は $3$ で割って $1$ 余る。

しかし，右辺： $3n-1$ は $3$ で割って $2$ 余るので等しくなることはない。

$$(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$$ $$(n^2+2)^2=n^4+4n^2+4$$

より，

$$(n^2+1)^2 <f(n) <(n^2+2)^2$$

っぽいと予想できる。

実際左側の不等式は明らかに成立。

右側の不等式は，$2n^2+n+5 <4n^2+4$ のとき成立。

実際 $n\geqq 2$ のときこの二次不等式は満たされる。

よって，$n\geqq 2$ のとき， $$(n^2+1)^2 <f(n) <(n^2+2)^2$$ となり $f(n)$ は平方数とはならない。

$n=1$ のときは $f(1)=9$ となり平方数となる。

背理法で証明する。 $a^2+b+c$ は $a^2$ より大きい平方数なので， $$(a+1)^2\leqq a^2+b+c$$

よって $$2a+1\leqq b+c$$

同様にして $2b+1\leqq c+a, 2c+1\leqq a+b$

以上3つの不等式を足し合わせると $3\leqq 0$ となり矛盾。

平方数の積は平方数なので，もし $3$ つの数がいずれも平方数であるとすると， $$f(n)=(2n^2+1)(3n^2+1)(6n^2+1)$$ も平方数である。そのような $n$ は不等式で挟むことで限定できそう（以下分かるようにそのような $n$ は存在しない）。

あとは不等式で挟む方針を知っていれば簡単。

右辺を展開すると，

$$f(n)=36n^6+36n^4+11n^2+1$$

$n^6$ と $n^4$ の係数に着目して以下のような平方式を考える： $$(6n^3+3n)^2=36n^6+36n^4+9n^2$$ $$(6n^3+3n+1)^2=36n^6+36n^4+12n^3+9n^2+6n+1$$ よって，任意の自然数 $n$ に対して $$(6n^3+3n)^2 <f(n) <(6n^3+3n+1)^2$$

よって $f(n)$ は平方数でないので矛盾。

1. $2^n+n^2+6=k^2$ について，$4$ で割った余りを考える。$n\geqq 2$ のとき，左辺は $4$ で割って $2$ 余るまたは $3$ 余る。右辺は $4$ で割って $0$ 余るまたは $1$ 余る。よって $n=1$ のみ。

2. $2^n+n^2+1=k^2$ について，$4$ で割った余りを考えると，$n$ は偶数または $n=1$ になる。$n=2N$ とおくと，左辺は $$f(N)=4^N+4N^2+1$$ となる。$N$ が大きいと $$(2^N)^2<f(N)<(2^N+1)^2$$ のように平方数で挟めることから $N$ が絞れる。答えは $n=1,2$

3. $2^n+n^2=k^2$ を変形すると $$2^n=(k-n)(k+n)$$ よって整数 $A$ を用いて $$k-n=2^A,k+n=2^{n-A}$$ とおける。これより $$n=\dfrac{2^{n-A}-2^A}{2}$$ となる。$n$ を固定して右辺を考えると $A=\dfrac{n}{2}-1$ のときの値以上。よって， $$n\geqq\dfrac{1}{2}(2^{\frac{n}{2}+1}-2^{\frac{n}{2}-1})$$ となるが，これは $n$ が大きいとき不成立であることから $n$ が絞れる。答えは $n=0,6$

4. $2^n+n^2+4=k^2$ について，$n$ が偶数なら小問2と同様に $n$ の範囲が絞れる。$n$ が $3$ 以上の奇数の場合は不適(※以下の2通りの方法で示せる)ので答えは $n=4,8$

   • 方法1：左辺を $8$ で割った余りは $5$ になり右辺を $8$ で割った余りは $1$ になるので等しくならない。
   • 方法2：$4(2^{n-2}+1)=(k-n)(k+n)$
     より $k-n$ も $k+n$ も素因数 $2$ をちょうど1つずつ持つ。$k-n=4A+2,k+n=4B+2$ とおくと $n=2B-2A$ より $n$ は偶数となり矛盾