整数論のテクニック：平方数でないことの証明

$m$ が $3$ の倍数のとき $m^2$ も $3$ の倍数。

$m$ が $3$ で割って $1$ 余る場合or $2$ 余る場合は $m^2$ は $3$ で割って $1$ 余る。

しかし，右辺： $3n-1$ は $3$ で割って $2$ 余るので矛盾。

$(n^2+1)^2=n^4+2n^2+1$

$(n^2+2)^2=n^4+4n^2+4$

よって，

$(n^2+1)^2 <f(n) <(n^2+2)^2$

っぽいと予想できる。

実際左側の不等式は明らかに成立。

右側の不等式は，$2n^2+n+5 <4n^2+4$ のとき成立。

実際 $n\geq 2$ のときこの二次不等式は満たされることが分かる。

よって，$n\geq 2$ のとき，

$(n^2+1)^2 <f(n) <(n^2+2)^2$

となり $f(n)$ は平方数とはならない。

$n=1$ のときは $f(1)=9$ となり平方数となる。

背理法で証明する。 $a^2+b+c$ は $a^2$ より大きい平方数なので，

$(a+1)^2\leq a^2+b+c$

よって $2a+1\leq b+c$

同様にして $2b+1\leq c+a, 2c+1\leq a+b$

以上3つの不等式を足し合わせると $3\leq 0$ となり矛盾。

平方数の積は平方数なので，もし $3$ つの数がいずれも平方数であるとすると，

$f(n)=(2n^2+1)(3n^2+1)(6n^2+1)$ も平方数である。そのような $n$ は不等式で挟むことで限定できそう。（以下分かるようにそのような $n$ は存在しない!）

あとは不等式で挟む方針を知っていれば簡単。

右辺を展開すると，

$f(n)=36n^6+36n^4+11n^2+1$

$n^6$ と $n^4$ の係数に着目して以下のような平方式を考える：

$(6n^3+3n)^2=36n^6+36n^4+9n^2$

$(6n^3+3n+1)^2=36n^6+36n^4+12n^3+9n^2+6n+1$

よって，任意の自然数 $n$ に対して

$(6n^3+3n)^2 <f(n) <(6n^3+3n+1)^2$

よって $f(n)$ は平方数でないので矛盾