シムソンの定理とその２通りの証明

まず，

$D$ が三角形 $ABC$ の外接円上にある
$\iff \angle BCD+\angle BAD=180^{\circ}$

である。

また，

$P,\:Q,\:R$ が同一直線上にある
$\iff \angle PQD+\angle RQD=180^{\circ}$

である。

この2つが互いに必要十分条件であることを言えばよい。

円周角の定理の逆より $A,\:D,\:Q,\:R$ は同一円周上にあるので，$\angle BAD+\angle RQD=180^{\circ}$ である。

同様に $P,\:D,\:Q,\:C$ は同一円周上にあるので，$\angle PQD=\angle PCD=180^{\circ}-\angle BCD$ である。

以上2つの式より，

$$\angle BCD+\angle BAD+\angle PQD+\angle RQD=360^{\circ}$$

となり証明完了。

三角形 $ABC$ の外接円の半径は $1$ としても一般性を失わない。 $A(\alpha),\:B(\beta),\:C(\gamma),D(\delta)$ とおく。

$\overline{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha},\overline{\beta}=\dfrac{1}{\beta},\overline{\gamma}=\dfrac{1}{\gamma}$ に注意する。

$D$ から $BC$ に下ろした垂線の足 $P$ の複素座標は，

$$p = \dfrac{1}{2} (\beta+\gamma+\delta-\beta\gamma\overline{\delta})$$ である。（注）

同様に，$Q$ の座標は，

$$q = \dfrac{1}{2} (\gamma+\alpha+\delta-\gamma\alpha\overline{\delta})$$

$R$ の座標は，

$$r = \dfrac{1}{2} (\alpha+\beta+\delta-\alpha\beta\overline{\delta})$$

よって，

$$p-q = \dfrac{1}{2} (\beta-\alpha) (1-\gamma\overline{\delta})\\ q-r = \dfrac{1}{2} (\gamma-\beta) (1-\alpha\overline{\delta})$$

したがって，

$P,\:Q,\:R$ が同一直線上にある
$\iff \dfrac{p-q}{q-r}$ が実数
$\iff (p-q)(\overline{q}-\overline{r})=(q-r)(\overline{p}-\overline{q})$<bt> $\begin{aligned} \iff &(\beta-\alpha) (1-\gamma\overline{\delta})(\overline{\gamma} - \overline{\beta}) (1-\overline{\alpha}\delta)\\ &= (\gamma-\beta) (1-\alpha\overline{\delta}) (\overline{\beta}-\overline{\alpha}) (1-\overline{\gamma}\delta) \end{aligned}$ $\cdots (\ast)$

ここで，$\overline{\gamma}-\overline{\beta}=\dfrac{1}{\gamma}-\dfrac{1}{\beta}=\dfrac{\gamma-\beta}{\beta\gamma}$ などに注意して両辺を適当に割り算すると，

上記の条件 $(\ast)$
$\iff \alpha(1-\gamma\overline{\delta})(1-\overline{\alpha}\delta)=\gamma(1-\alpha\overline{\delta})(1-\overline{\gamma}\delta)$
$\iff (1-\gamma\overline{\delta})(\alpha-\delta)=(1-\alpha\overline{\delta})(\gamma-\delta)$
$\iff (\alpha-\gamma)(1-\delta\overline{\delta})=0$
$\iff |\delta|=1$

となり証明完了。