1. 高校数学の美しい物語
  2. 数学オリンピック対策問題(不等式)

数学オリンピック対策問題(不等式)

更新日時 2021/03/07
問題

非負実数 a,b,ca,b,c に対して

(a+b2)(b+c2)(c+a2)3ab+bc+ca3\sqrt[3]{(\dfrac{a+b}{2})(\dfrac{b+c}{2})(\dfrac{c+a}{2})}\geq\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3}

を証明せよ。

良質な練習問題です,数オリ対策にどうぞ。

目次
  • 不等式証明の方針

  • 方針1:bunchingによる証明

  • 方針2:仲介役を挟むエレガントな証明

不等式証明の方針

「相加平均たちの相乗平均と相乗平均たちの相加平均」を比較した美しい不等式です。

三変数対称斉次式なので様々な方法が考えられますが,以下では,

方針1:気合いでルートを外してMuirheadとSchurの不等式を用いる方法

方針2:仲介役を挟む方法

をそれぞれ解説します。

方針1は数学オリンピック界隈では「bunching」と呼ばれる有名な手法です。ぜひマスターしておきましょう。

※表記簡略化のためにbunching特有の記号を用いるのでMuirheadの不等式を知らない方はMuirheadの不等式と具体例を参照してください。

(シグマの下に symsym とかついてて見た目はゴツイですが内容は難しくありません!)

方針2は普通は思いつかないような方法なので観賞用にどうぞ。

方針1:bunchingによる証明

証明:

a=A2,b=B2,c=C2a=A^2, b=B^2, c=C^2 とおいて両辺三乗すると根号が外れる:

27(A2+B2)(B2+C2)(C2+A2)8(AB+BC+CA)327(A^2+B^2)(B^2+C^2)(C^2+A^2)\geq 8(AB+BC+CA)^3

示すべき不等式を気合いで展開する:

27symA4B2+6A2B2C24symA3B3+24symA3B2C27\displaystyle\sum_{sym}A^4B^2+6A^2B^2C^2\\ \geq\displaystyle 4\sum_{sym}A^3B^3+24\sum_{sym}A^3B^2C

ここまでは機械的な計算。基本はMuirheadの不等式 「偏っている方が大きい」で評価したいが,偏っていない 6A2B2C26A^2B^2C^2 が大きい側にいて厄介なのでSchurの不等式を用いて救出する:

A3+B3+C3+3ABCsymA2BA^3+B^3+C^3+3ABC\geq \displaystyle\sum_{sym}A^2B

の両辺を 2ABC2ABC 倍すると,

symA4BC+6A2B2C2sym2A3B2C\displaystyle\sum_{sym}A^4BC+6A^2B^2C^2\geq \sum_{sym}2A^3B^2C

よって,示すべき不等式と比較して,残った部分:

27symA4B2 4symA3B3+22symA3B2C+symA4BC27\displaystyle\sum_{sym}A^4B^2\geq 4\sum_{sym}A^3B^3+22\sum_{sym}A^3B^2C+\sum_{sym}A^4BC

を示せば良い。

これは [4,2,0][4,2,0] が最も偏っているのでMuirheadの不等式からただちに成立する。

[4,2,0][3,3,0],[3,2,1],[4,1,1][4,2,0]\succeq [3,3,0],[3,2,1],[4,1,1] という3つの不等式を足し合わせる)

気合いで展開する部分については対称式を素早く正確に展開する3つのコツもどうぞ。

方針2:仲介役を挟むエレガントな証明

左辺と右辺の間に仲介役 (a+b+c)(ab+bc+ca)9\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9} をはさみます。

すると,以下のように3つの不等式が成立して万事がうまくいきます。

左側: (a+b)(b+c)(c+a)8(a+b+c)(ab+bc+ca)9\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8}\geq\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}

右側1: a+b+cab+bc+caa+b+c\geq\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}

右側2: 3(ab+bc+ca)(ab+bc+ca)23(ab+bc+ca)\geq (\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^2

「左側」の証明:

両辺 7272 倍して展開して整理すると,

syma2b6abc\displaystyle\sum_{sym}a^2b\geq 6abc となり,

[2,1,0][2,1,0][1,1,1][1,1,1] のMuirheadの不等式です。

「右側1」の証明 有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+caそのものです。

「右側2」の証明

ab=A2,bc=B2,ca=C2ab=A^2, bc=B^2, ca=C^2 とおくと,

3(A2+B2+C2)(A+B+C)23(A^2+B^2+C^2)\geq (A+B+C)^2 を示せば良いが,

これは展開して整理すると,A2+B2+C2AB+BC+CAA^2+B^2+C^2\geq AB+BC+CA

と同値なので成立。

右側の2つの不等式をかけわせて両辺 2727 で割ることによって

(a+b+c)(ab+bc+ca)9(ab+bc+ca3)3\dfrac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{9}\geq (\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3})^3

が分かり,左側と合わせて題意の不等式を得ます。

他にもよい証明方法があればご一報ください!

人気記事
  1. 高校数学の美しい物語
  2. 数学オリンピック対策問題(不等式)