数学オリンピック対策問題（不等式）

$a=A^2, b=B^2, c=C^2$ とおいて両辺三乗すると根号が外れる：

$$27(A^2+B^2)(B^2+C^2)(C^2+A^2) \geq 8(AB+BC+CA)^3$$

示すべき不等式を気合いで展開する：

$$27\sum_{\mathrm{sym}} A^4B^2+6A^2B^2C^2 \geq 4\sum_{\mathrm{sym}}A^3B^3+24\sum_{\mathrm{sym}}A^3 B^2 C$$

ここまでは機械的な計算。基本はMuirheadの不等式 「偏っている方が大きい」で評価したいが，偏っていない $6A^2B^2C^2$ が大きい側にいて厄介なのでSchurの不等式を用いて救出する。

$$A^3+B^3+C^3+3ABC\geq \sum_{\mathrm{sym}}A^2 B$$

の両辺を $2ABC$ 倍すると，

$$\sum_{\mathrm{sym}}A^4 B C+6 A^2 B^2 C^2 \geq \sum_{\mathrm{sym}}2A^3 B^2 C$$

となる。よって，示すべき不等式と比較して，残った部分：

$$27\sum_{\mathrm{sym}}A^4B^2 \geq 4\sum_{\mathrm{sym}}A^3B^3+22\sum_{\mathrm{sym}}A^3B^2C+\sum_{\mathrm{sym}}A^4BC$$

を示せば良い。

これは $[4,2,0]$ が最も偏っているのでMuirheadの不等式からただちに成立する（$[4,2,0] \succeq [3,3,0],[3,2,1],[4,1,1]$ という3つの不等式を足し合わせる）。

両辺 $72$ 倍して展開して整理すると，$\displaystyle \sum_{\mathrm{sym}}a^2b\geq 6abc$ となり，$[2,1,0]$ と $[1,1,1]$ のMuirheadの不等式。

有名不等式a^2+b^2+c^2≧ab+bc+ca そのもの。

$ab=A^2, bc=B^2, ca=C^2$ とおくと， $3(A^2+B^2+C^2)\geq (A+B+C)^2$ を示せば良いが，これは展開して整理すると，$A^2+B^2+C^2\geq AB+BC+CA$ と同値なので成立する。