Schurの不等式の証明と例題

Schurの不等式は $x, y, z$ について対称なので $x\geq y\geq z$ としても一般性を失わない。

このように大小関係をつければ，左辺第3項は非負であることが分かる。

よって残りの2項を評価すればいいが，$(x-y)$ でくくれて，

$(x-y)\{x^r(x-z)-y^r(y-z)\}$ も仮定した大小関係から非負であることが分かる。

Schurの不等式は $x, y, z$ について対称なので $x\geq y\geq z$ としても一般性を失わない。

このように大小関係をつければ，左辺第1項は非負であることが分かる。

よって残りの2項を評価すればいいが，$(y-z)$ でくくれて，

$(y-z)\{z^r(x-z)-y^r(x-y)\}$ も仮定した大小関係から非負であることが分かる。

証明すべき不等式は以下の不等式と同値である：

$5(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+(a+b+c)^3$

両辺を展開する：

$5(a^3+b^3+c^3)+5(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)\\ \leq 7(a^3+b^3+c^3)+3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+6abc$

整理する：

$a^3+b^3+c^3+3abc\geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2$

これは $r=1$ の場合のSchurの不等式そのものである。

$r=1$ の場合のSchurの不等式より，

示すべき不等式の左辺は，

$(a^3+b^3+c^3+3abc)+3abc\\ \geq a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+3abc\\ =(a+b+c)(ab+bc+ca)\\ =3(a+b+c)$

よって，$a+b+c\geq 3$ を示せば良い。

ここで，有名な不等式 $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0$ より，

$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ca)=9$

となり目標の不等式が示された。

なお，
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\\ \dfrac{1}{2}\{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\}\\ \geq 0$

である。