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内心と傍心の性質の比較

更新日時 2021/03/07

傍心に関する性質は内心に関する性質とほとんど同じ。

傍心,傍接円に関して迷ったらまずは内心,内接円を考えるとよい。

内心と傍心の定義は,三角形の五心の覚えておくべき性質まとめに書いています。

傍心は一見扱いにくいですが,内心とほぼ同様に扱うことができます。内心も傍心も角の2等分線の交点として定義されるので,ほとんど同じ性質を持っています。内心でできることは傍心でもできて,内心でできないことは傍心にもできません。

具体例として,内接円に関する重要な2つの性質が傍心の場合にどうなるのか考えてみます。

目次
  • 内心と内接円に関する重要な性質

  • 性質1を傍心に応用

  • 性質2を傍心に応用

  • 4つの円の半径と三角形の面積

内心と内接円に関する重要な性質

以下の2つの性質は導出も含めて覚えておくべき重要な性質です。

内接円の性質

性質1:S=12r(a+b+c)=rsS=\dfrac{1}{2}r(a+b+c)=rs

性質2:

AF=AE=a+b+c2=saAF=AE=\dfrac{-a+b+c}{2}=s-a

BF=BD=ab+c2=sbBF=BD=\dfrac{a-b+c}{2}=s-b

CD=CE=a+bc2=scCD=CE=\dfrac{a+b-c}{2}=s-c

ただし,D,E,FD,E,F は内接円と各辺の接点,SS は△ ABCABC の面積,rr は内接円の半径,s=a+b+c2s=\dfrac{a+b+c}{2} です。

以下ではこの2つの性質を傍心に応用するとどうなるか考えてみます。

性質1を傍心に応用

傍心の性質

内心の場合に,性質1の導出の肝となるのは,面積に関して

ABCABC =△ IBCIBC +△ ICAICA +△ IABIAB

が成立するということでした。

傍心の場合も同じような性質が成立することを期待して,△ IAABI_AAB ,△ IABCI_ABC ,△ IACAI_ACA を眺めていると,

ABCABC =ー△IABCI_ABC +△IACAI_ACA +△IAABI_AAB

が成立することが分かります。

あとは,内心の場合と全く同様にして以下の公式が導けます。

性質1’:S=12rA(a+b+c)=rA(sa)S=\dfrac{1}{2}r_A(-a+b+c)=r_A(s-a)

ただし,傍接円の半径を rAr_A とあらわしました。

性質2を傍心に応用

傍心の性質

内心の場合に,性質2の導出の肝となるのは,1点から円に引いた2本の接線の長さが等しいことでした:

AF=AE,BD=BF,CD=CEAF=AE, BD=BF, CD=CE

(性質2の導出の詳細は,タンジェントの美しい関係式の後半あたり参照)

傍心の場合も上記の肝となる部分は同様に成立するので,内心の場合と同様に以下の性質が導けます:

AF=c+BF=c+BD=c+aCD=a+cCE=a+c(AEb)=a+b+cAFAF=c+BF\\ =c+BD\\ =c+a-CD\\ =a+c-CE\\ =a+c-(AE-b)\\ =a+b+c-AF

よって,AF=12(a+b+c)AF=\dfrac{1}{2}(a+b+c)

他の辺に関しても同様な式が導けます。

性質2’:

AE=AF=12(a+b+c)=sAE=AF=\dfrac{1}{2}(a+b+c)=s

BF=BD=12(a+bc)=scBF=BD=\dfrac{1}{2}(a+b-c)=s-c

CD=CE=12(ab+c)=sbCD=CE=\dfrac{1}{2}(a-b+c)=s-b

上記の性質を組み合わせることで,内心と傍心のより複雑な関係式を導くこともできます。

内心に関する性質は導出方法も含めて覚えておくべきですが,傍心に関する性質1’,性質2’は覚える必要はありません。 「傍心は内心と同様に扱うことができる」と理解しておけば,傍心の性質は全て内心の場合から導出できるわけです。

4つの円の半径と三角形の面積

実は,内接円の半径 rr と3つの傍接円の半径 rA,rB,rCr_A,r_B,r_C に対して,

S=rrArBrCS=\sqrt{rr_Ar_Br_C}

という美しい式が成立します。

この式は,

性質1: S=rsS=rs

および,

性質1’:

S=rA(sa)=rB(sb)=rC(sc)S=r_A(s-a)=r_B(s-b)=r_C(s-c)

および,ヘロンの公式:

S2=s(sa)(sb)(sc)S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)

から分かります。

三角形の五心というけれど,本質的には四心

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