三角形の五心の覚えておくべき性質を整理

・各頂点の平均として表される。

ベクトルでは，$\overrightarrow{g}=\dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}}{3}$

座標平面では，$(x_G,y_G)=(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3},\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3})$

・重心は各中線を $2:1$ に内分する。

・外心の位置ベクトル $\overrightarrow{o}$ は各頂点の位置ベクトルを用いて以下のように表される：

$\overrightarrow{o}=\dfrac{\sin 2A\overrightarrow{a}+\sin 2B\overrightarrow{b}+\sin 2C\overrightarrow{c}}{\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C}$

ちなみにこの公式はベクトルの面積比の公式からすぐに導ける。

• $OA=OB=OC$
• $\angle BOC=\angle 2BAC, \angle COA=\angle 2CBA, \angle AOB=\angle 2ACB$
• 外接円の中心

・内心の位置ベクトル $\overrightarrow{i}$ は各頂点の位置ベクトルを用いて以下のように表される：

$\overrightarrow{i}=\dfrac{a\overrightarrow{a}+b\overrightarrow{b}+c\overrightarrow{c}}{a+b+c}$

ちなみにこの公式も外心の場合と同様に面積比を利用して導ける。

• $I$ から各辺までの距離は等しい
• 内接円の中心

・垂心の位置ベクトル $\overrightarrow{h}$ も外心，内心と同様の手法で各頂点の位置ベクトルを用いて以下のように表される：

$\overrightarrow{h}=\dfrac{\tan A\overrightarrow{a}+\tan B\overrightarrow{b}+\tan C\overrightarrow{c}}{\tan A+\tan B+\tan C}$

・四角形 $AFHE, BDHF, CEHD$ は円に内接する四角形である（円周角の定理や正弦定理が使える）

・ $AH=2R\cos A$