垂心の存在の３通りの証明

三角形 $ABC$ の各頂点を通り対辺と平行な直線を3つ引き，それらの交点を $D,E,F$ とおく。

まず，三角形 $ABC$ と $BAF$ は合同である。なぜなら，以下のように1辺とその両端がそれぞれ等しいから：

• 平行線の錯角より $\angle ABC=\angle BAF$
• 平行線の錯角より $\angle BAC=\angle ABF$
• $AB$ は共通

同様に考えると，4つの小さい三角形 $ABC,BAF,CEA,DCB$ はすべて合同である。特に，$AF=AE$。 よって，

• 「$A$ から $BC$ におろした垂線」＝「$EF$ の垂直二等分線」

同様に，

• 「$B$ から $CA$ におろした垂線」＝「$FD$ の垂直二等分線
• 「$C$ から $AB$ におろした垂線」＝「$DE$ の垂直二等分線」

ここで， 三角形 $DEF$ において，3辺の垂直二等分線は1点で交わるので，$ABC$ における3本の垂線も1点で交わる。以上により垂心の存在が証明された。

垂線の足を $P,Q,R$ とおくと，

$\dfrac{BP}{PC}=\dfrac{AB\times\cos B}{CA\times\cos C}$

$\dfrac{CQ}{QA}=\dfrac{BC\times\cos C}{AB\times\cos A}$

$\dfrac{AR}{RB}=\dfrac{CA\times\cos A}{BC\times\cos B}$

より，$\dfrac{AR\cdot BP\cdot CQ}{RB\cdot PC\cdot QA}=1$

よって，チェバの定理の逆より，$AP,BQ,CR$ は1点で交わる。つまり，垂心が存在する。

角 $A$ が最大角としても一般性を失わない。

$A(0,a),B(b,0),C(c,0)$ と座標を設定する。

$AC$ の傾きは $-\dfrac{a}{c}$ より，直線 $BQ$ の方程式は，$y=\dfrac{c}{a}(x-b)$

これと，$y$ 軸との交点の $y$ 座標は，$-\dfrac{bc}{a}$

同様にして（または対称性より），$CR$ も $(0,-\dfrac{bc}{a})$ を通る。 よって，$AP,BQ,CR$ はすべて $(0,-\dfrac{bc}{a})$ を通る。よって，垂心の存在が証明された。