相似比と面積比，体積比の公式の証明

更新日時 2021/10/13

相似比と面積比

相似な図形（形が同じで大きさが違う図形）の面積比・体積比について解説します。

相似比と面積比について

図形を2倍に拡大すると，面積は4倍になります。

例1. 長方形

長方形を $2$ 倍に拡大すると，縦の長さも横の長さも $2$ 倍になる。長方形の面積は「縦×横」なので，面積は $2\times 2=4$ 倍。長方形の場合の例

より一般に，図形を $k$ 倍に拡大すると，面積は $k^2$ 倍になります。

例2. 三角形

三角形を $k$ 倍に拡大すると，底辺も高さも $k$ 倍になる。三角形の面積は底辺×高さ÷2なので，面積は $k\times k=k^2$ 倍。

同じことですが，以下のように言うこともできます。

例3. その他の簡単な図形

円 $(S=\pi r^2)$ ，楕円 $(S=\pi ab)$ ，台形 $(S=\dfrac{h}{2}(a+b))$ など，平面図形の面積を表す公式は必ず長さの２次の項のみからなっており， $k$ 倍に拡大すると面積は $k^2$ 倍になることが分かります。

証明（大雑把な説明）

長方形や三角形の場合はさきほどの例で確認した。
四角形、五角形など多角形はいくつかの三角形に分割できる。図形を $k$ 倍に拡大すると，各三角形の面積は $k^2$ 倍になるので全体の面積も $k^2$ 倍になる。
一般の図形は（無限に小さい）長方形に分割できる。図形を $k$ 倍に拡大すると，各長方形の面積は $k^2$ 倍になるので全体の面積も $k^2$ 倍になる。

上記2はわかりやすさのために記載しましたが，証明としては1と3だけで十分です。

応用例高校入試，大学入試で頻出の公式ですが，有名な定理の証明にも使われます。
錐体の体積公式に1/3がつくことの2通りの説明
ブラーマグプタの公式とその証明

次は空間図形の体積比です。

相似比と体積比

体積比が相似比の3乗になることは，面積比と同じような説明で納得できます。

体積比が3乗になることの大雑把な説明

この記事ではフラクタルなどのやばい図形は考えていません。

この記事の編集者

高校数学の美しい物語の管理人。「わかりやすいこと」と「ごまかさないこと」の両立を意識している。著書に『高校数学の美しい物語』『超ディープな算数の教科書』。記事の誤植やわかりにくい等のご指摘はお気軽にメールください！