相似比と面積比,体積比の公式の証明

更新日時 2022/03/30
相似比と面積比

相似比と面積比

  • 図形を 22 倍に拡大すると,面積は 44になる。
  • 図形を 33 倍に拡大すると,面積は 99 倍になる。
  • 図形を kk 倍に拡大すると,面積は k×k=k2k\times k=k^2 倍になる。

相似な図形(形が同じで大きさが違う図形)の面積比・体積比について解説します。

目次
  • 相似・相似比

  • 相似比と面積比について

  • 面積比が相似比の2乗になることの証明

  • 応用例

  • 相似な空間図形の体積比

相似・相似比

相似と相似比について確認しておきましょう。

相似な三角形

  • 図のように,お互いがもう一方の拡大や縮小になっているような2つの図形の組を,互いに相似であると言います。

  • 相似とは,大雑把には同じ形(サイズは違っても良い)である図形のことです。

  • 図の例では,ABC\triangle{ABC}DEF\triangle{DEF}GHI\triangle{GHI} がそれぞれ相似です。

  • 相似な図形の対応する辺の長さの比を相似比と言います。例えばABC\triangle{ABC}DEF\triangle{DEF} の相似比は AB:DEAB:DE と等しいです。

相似比と面積比について

図形を2倍に拡大すると,面積は4倍になります。

簡単な図形(三角形・四角形)で例を見てみましょう。

長方形の場合

例1. 長方形

長方形を 22 倍に拡大すると,縦の長さも横の長さも 22 倍になる。長方形の面積は「縦×横」なので,面積は 2×2=42\times 2=4 倍。 長方形の場合の例

三角形の場合

例2. 三角形

三角形を 22 倍に拡大すると,底辺も高さも 22 倍になる。三角形の面積は底辺×高さ÷2なので,面積は 2×2=42\times 2=4 倍。

一般の図形の場合

長方形・三角形以外の図形の場合も,同様の事実が成り立知ます。

例3. その他の簡単な図形

(S=πr2)(S=\pi r^2),楕円 (S=πab)(S=\pi ab),台形 (S=h2(a+b))(S=\dfrac{h}{2}(a+b)) など,平面図形の面積を表す公式は必ず長さの2次の項のみからなっており,kk 倍に拡大すると面積は k2k^2 倍になることが分かります。

さらにより一般に,図形を kk 倍に拡大すると,面積は k2k^2 倍になります。

面積比と相似比の公式

相似比と面積比

面積比が相似比の2乗になることの証明

証明(大雑把な説明)
  1. 長方形や三角形の場合はさきほどの例で確認した。

  2. 四角形、五角形など多角形はいくつかの三角形に分割できる。図形を kk 倍に拡大すると,各三角形の面積は k2k^2 倍になるので全体の面積も k2k^2 倍になる。相似比と面積比の証明

  3. 一般の図形は(無限に小さい)長方形に分割できる。図形を kk 倍に拡大すると,各長方形の面積は k2k^2 倍になるので全体の面積も k2k^2 倍になる。

上記2はわかりやすさのために記載しましたが,証明としては1と3だけで十分です。

応用例

高校入試,大学入試で頻出の公式ですが,有名な定理の証明にも使われます。

相似な空間図形の体積比

次は空間図形の体積比です。

相似比と体積比
  • 図形を 22 倍に拡大すると,体積は 88になる。
  • 図形を kk 倍に拡大すると,体積は k×k×k=k3k\times k\times k=k^3 倍になる。
  • 相似な図形について,体積比=相似比の3乗

体積比が相似比の3乗になることは,面積比と同じような説明で納得できます。

体積比が3乗になることの大雑把な説明
  1. 直方体の場合について正しい(体積は縦×横×高さなので kk 倍に拡大すると体積は k3k^3 倍になる)

  2. 一般の空間図形は(無限に小さい)直方体の集まりとみなせる

この記事ではフラクタルなどのやばい図形は考えていません。