相似比と面積比・体積比：いろいろな例と証明

更新日時 2022/06/21

相似比と面積比

相似な図形（形が同じで大きさが違う図形）について，相似比の意味と，面積比・体積比の公式について解説します。

相似・相似比

まずは，相似と相似比について確認します。

相似とは，大雑把には同じ形（サイズは違っても良い）である図形のことです。例えば，図の2つの三角形は相似です。（正確には，平行移動・回転・裏返し・拡大縮小でピッタリ重なる2つの図形のことを相似と言います）
相似比とは，拡大の倍率のことです。相似な図形の「対応する辺の長さの比が相似比」とも言えます。例えば，図の2つの三角形の相似比は $1:2$ です。

相似比と面積比の関係

「面積比」は「相似比の2乗」と等しい

例1

2つの三角形が相似で相似比が $1:2$ のとき，面積比は， $1^2:2^2=1:4$ になる。相似な三角形

このように，相似比が $a:b$ なら面積比は $a^2:b^2$ になるというわけです。相似比と面積比

「図形を2倍に拡大すると，面積は4倍になる」と言うこともできます。簡単な図形（三角形・四角形）で例を見てみましょう。

例2. 長方形

長方形を $2$ 倍に拡大すると，縦の長さも横の長さも $2$ 倍になる。長方形の面積は「縦×横」なので，面積は $2\times 2=4$ 倍。長方形の場合の例

例3. 三角形

三角形を $2$ 倍に拡大すると，底辺も高さも $2$ 倍になる。三角形の面積は底辺×高さ÷2なので，面積は $2\times 2=4$ 倍。

長方形・三角形以外の図形の場合も，同様の事実が成り立知ます。

例4. その他の簡単な図形

円 $(S=\pi r^2)$ ，楕円 $(S=\pi ab)$ ，台形 $(S=\dfrac{h}{2}(a+b))$ など，平面図形の面積を表す公式は必ず長さの２次の項のみからなっており， $k$ 倍に拡大すると面積は $k^2$ 倍になることが分かります。

さらにより一般に，図形を $k$ 倍に拡大すると，面積は $k^2$ 倍になります。

証明（大雑把な説明）

長方形や三角形の場合はさきほどの例で確認した。
四角形、五角形など多角形はいくつかの三角形に分割できる。図形を $k$ 倍に拡大すると，各三角形の面積は $k^2$ 倍になるので全体の面積も $k^2$ 倍になる。
一般の図形は（無限に小さい）長方形に分割できる。図形を $k$ 倍に拡大すると，各長方形の面積は $k^2$ 倍になるので全体の面積も $k^2$ 倍になる。