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錐体の体積に1/3がつくことの2通りの説明

更新日時 2021/03/07

三角錐,四角錐,円錐などの錐体の体積は

13\dfrac{1}{3} ×底面積×高さ

底面積が SS ,高さが hh である錐体の体積 VV を求める公式: V=13ShV=\dfrac{1}{3}Sh の導出について。

目次
  • 特殊な四角錐の場合

  • 一般の錐体の場合

  • 積分を用いた証明

特殊な四角錐の場合

底面が一辺 2h2h の正方形であるような特殊な正四角錐の場合は,立方体を六個に切ることで簡単に V=13ShV=\dfrac{1}{3}Sh が証明できます。

証明

四角錐の体積

底面積は S=4h2S=4h^2

高さは hh

また,一辺 2h2h の立方体から同じ形の立体が六個取り出せるので,体積は

(2h)3÷6=43h3(2h)^3\div 6=\dfrac{4}{3}h^3

以上より,V=13ShV=\dfrac{1}{3}Sh が分かる。

一般の錐体の場合

次に,底面積が SS ,高さが hh の一般の錐体 AA の体積 VV について考えます。

底面が一辺 2h2h の正方形であるような特殊な四角錐 BB の体積は 13SBh\dfrac{1}{3}S_Bh でした(SB=4h2S_B=4h^2BB の底面積)。

この二つの立体を底面からの距離が tt の平面で切ると,その断面積の比は常に S:SBS:S_B です。 よって,体積の比も S:SBS:S_B になります。

つまり,求めたい AA の体積は V=13SBh×SSB=13ShV=\dfrac{1}{3}S_Bh\times\dfrac{S}{S_B}=\dfrac{1}{3}Sh となります。

積分を用いた証明

二つ目の説明です。数学2の知識が必要になります。積分を使って V=13ShV=\dfrac{1}{3}Sh を証明します。底面積の形によらない(円錐でも三角錐でも四角錐でも適用可能)証明方法です。

証明

底面からの距離が tt であるような平面で錐体を切ったときの断面積を S(t)S(t) とする。

錐体の体積と積分

Δt\Delta t が十分小さいとき,底面からの距離が tt から t+Δtt+\Delta t の間にある部分の体積は S(t)ΔtS(t)\Delta t とみなせるので,

V=0hS(t)dtV=\displaystyle\int_0^hS(t)dt

また,相似な図形の面積比は相似比の二乗に比例するので,

(ht)2:h2=S(t):S(h-t)^2:h^2=S(t):S

よって,S(t)=(ht)2h2SS(t)=\dfrac{(h-t)^2}{h^2}S

以上より,

V=0h(ht)2h2Sdt=Sh2[(ht)33]0h=Sh2h33=13ShV=\displaystyle\int_0^h\dfrac{(h-t)^2}{h^2}Sdt\\ =\dfrac{S}{h^2}\left[-\dfrac{(h-t)^3}{3}\right]_0^h\\ =\dfrac{S}{h^2}\dfrac{h^3}{3}\\ =\dfrac{1}{3}Sh

最後の証明,底面からの距離でなく頂点からの距離を tt にすればよかったと後悔しています。

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