チェバの定理の３通りの証明

$\overrightarrow{AF}=t\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}=s\overrightarrow{AC}$ とおく。

$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{s(1-t)}{t(1-s)}$ となることを示せばチェバの定理が示される。

まずは $BE$ と $CF$ の交点 $P$ のベクトルを求める。

$BE$ のベクトル方程式は，

$\overrightarrow{AP}=u\overrightarrow{AB}+(1-u)s\overrightarrow{AC}$

$CF$ のベクトル方程式は，

$\overrightarrow{AP}=v\overrightarrow{AC}+(1-v)t\overrightarrow{AB}$

よって，

$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ の係数を連立させて $u$ について解くと，

$u=\dfrac{t-st}{1-st}$ となるので，

$\overrightarrow{AP}=\dfrac{t-st}{1-st}\overrightarrow{AB}+\dfrac{s-st}{1-st}\overrightarrow{AC}$

よって，係数の比が $t-st:s-st=t(1-s):s(1-t)$ となるので題意は示された。