チェバの定理：例題と３通りの証明

チェバの定理を使うと，

$\dfrac{AF}{FB}\times\dfrac{BD}{DC}\times\dfrac{CE}{EA}=1$

である。ここで，

• $AF:FB=1:2$ より $\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{1}{2}$
• $BD:DC=3:2$ より $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{3}{2}$

すなわち，

$\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times\dfrac{CE}{EA}=1$

したがって，$\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{4}{3}$，つまり $CE:EA=4:3$

三角形 $APC$ の面積を $|APC|$ などと書く。

黄色い三角形 $APC$ と青い三角形 $BPC$ は，底辺 $PC$ が共通で高さの比が $AF:FB$ なので，

$|APC|:|BPC|=AF:FB$

つまり，$\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{|APC|}{|BPC|}$

同様に，

$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{|APB|}{|APC|},\\\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{|BPC|}{|APB|}$

以上3つの式を辺々かけ合わせると，

$\dfrac{AF}{FB}\times\dfrac{BD}{DC}\times\dfrac{CE}{EA}\\ =\dfrac{|APC|}{|BPC|}\times\dfrac{|APB|}{|APC|}\times\dfrac{|BPC|}{|APB|}\\ =1$

となり，チェバの定理を得る。

メネラウスの定理より，

$\dfrac{AF}{FB}\times\dfrac{BC}{CD}\times\dfrac{DP}{PA}=1$

$\dfrac{AE}{EC}\times\dfrac{BC}{BD}\times\dfrac{DP}{PA}=1$

上の式 $÷$ 下の式を計算すればチェバの定理となる。