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チェバの定理の3通りの証明

更新日時 2021/03/07

チェバの定理

チェバの定理:

図において,

AFFBBDDCCEEA=1\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1

が成立する。これをチェバの定理と言う。

三角形の周囲を一周しながら辺の比を取っていくと1になるという美しい定理です。

目次
  • チェバの定理の例題

  • チェバの定理の証明の方針

  • 1:面積比を用いたチェバの定理の証明

  • 2:メネラウスの定理を用いたチェバの定理の証明

  • 3:ベクトルを用いたチェバの定理の証明

  • チェバの定理の逆

チェバの定理の例題

チェバの定理は,線分の長さや線分比を求めるために使われることが多いです。

チェバの定理

例えば,

AF:FB=1:2AF:FB=1:2

BD:DC=3:2BD:DC=3:2

のときに,CE:EACE:EA を計算してみましょう。

これは,チェバの定理を使うと,

AFFBBDDCCEEA=1\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1

なので,

1232CEEA=1\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1

よって,CEEA=43\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{4}{3}

つまり,CE:EA=4:3CE:EA=4:3 になります。

チェバの定理の証明の方針

このページでは,チェバの定理の3通りの証明を解説します。

証明1:面積比による方法(有名,エレガント)

証明2:メネラウスの定理を用いる方法(わりとエレガント)

証明3:ベクトルによる方法(機械的に証明できる,計算が大変)

1:面積比を用いたチェバの定理の証明

有名なチェバの定理の証明です。

方針:三角形の面積比にまつわる公式たちの公式1を用いて 線分比を面積比に変換します。よく用いられる手法です。

証明

チェバの定理の証明

三角形 APCAPC の面積を APC|APC| などと書きます。

AFFB=APCBPC,BDDC=APBAPC,CEEA=BPCAPB\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{|APC|}{|BPC|},\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{|APB|}{|APC|},\\\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{|BPC|}{|APB|}

を辺々かけ合わせるとチェバの定理となる。

ちなみに,この証明方法の背景には,ベクトルの定番問題の公式(面積比)があります。三角形の中の点と三直線を見て連想できるとよいでしょう。

2:メネラウスの定理を用いたチェバの定理の証明

メネラウスの定理を既知とした場合のチェバの定理の証明です。

方針:メネラウスの定理を用いてチェバの定理の左辺を作り出そう頑張ると自然に以下の解答が思いつくでしょう。

証明

メネラウスの定理より,

AFFBBCCDDPPA=1\dfrac{AF}{FB}\dfrac{BC}{CD}\dfrac{DP}{PA}=1

AEECBCBDDPPA=1\dfrac{AE}{EC}\dfrac{BC}{BD}\dfrac{DP}{PA}=1

上の式 ÷÷ 下の式を計算すればチェバの定理となる。

3:ベクトルを用いたチェバの定理の証明

計算がめんどうですが機械的にできます。

方針:直線 BEBECFCF の交点を PP とおき,APAPBCBC の交点 DD が題意の比の式を満たしていることを証明します。これは同時にチェバの定理の逆の証明にもなっています。

チェバの定理の証明3

AFundefined=tABundefined,AEundefined=sACundefined\overrightarrow{AF}=t\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}=s\overrightarrow{AC} とおく。

BDDC=s(1t)t(1s)\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{s(1-t)}{t(1-s)} となることを示せばチェバの定理が示される。

まずは BEBECFCF の交点 PP のベクトルを求める。

BEBE のベクトル方程式は,

APundefined=uABundefined+(1u)sACundefined\overrightarrow{AP}=u\overrightarrow{AB}+(1-u)s\overrightarrow{AC}

CFCF のベクトル方程式は,

APundefined=vACundefined+(1v)tABundefined\overrightarrow{AP}=v\overrightarrow{AC}+(1-v)t\overrightarrow{AB}

よって,

ABundefined,ACundefined\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} の係数を連立させて uu について解くと,

u=tst1stu=\dfrac{t-st}{1-st} となるので,

APundefined=tst1stABundefined+sst1stACundefined\overrightarrow{AP}=\dfrac{t-st}{1-st}\overrightarrow{AB}+\dfrac{s-st}{1-st}\overrightarrow{AC}

よって,係数の比が tst:sst=t(1s):s(1t)t-st:s-st=t(1-s):s(1-t) となるので題意は示された。

チェバの定理の逆

チェバの定理の逆:各辺上の点 D,E,FD, E, F に対して

AFFBBDDCCEEA=1\dfrac{AF}{FB}\cdot\dfrac{BD}{DC}\cdot\dfrac{CE}{EA}=1

ならば AD,BE,CFAD, BE, CF は一点で交わる。

チェバの定理の逆は,数学オリンピックなどの難問で証明問題の道具として使われます。3つの直線が1点で交わることの証明に使われます。以下にチェバの定理の逆が使える4つの例を紹介します。

ベクトルは計算を省略しましたが,それでも長いです。初等幾何はひらめきが必要だけど美しいです。

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