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チェバの定理の3通りの証明

更新日時 2021/03/07
チェバの定理

チェバの定理

図において,

AFFB×BDDC×CEEA=1\dfrac{AF}{FB}\times\dfrac{BD}{DC}\times\dfrac{CE}{EA}=1

が成立する。これをチェバの定理と言う。

チェバの定理は,三角形の周囲を1周しながら辺の比を取っていくと1になるという美しい定理です。

目次
  • チェバの定理の例題

  • チェバの定理の証明の方針

  • 証明1. 面積比を用いる方法

  • 証明2. メネラウスの定理を用いる方法

  • 証明3. ベクトルを用いる方法

  • チェバの定理の逆

チェバの定理の例題

チェバの定理は,線分の長さや線分の比を求めるために使われることが多いです。

例題
  • AF:FB=1:2AF:FB=1:2
  • BD:DC=3:2BD:DC=3:2

のとき,CE:EACE:EA を求めよ。 チェバの定理

チェバの定理を使うと,

AFFB×BDDC×CEEA=1\dfrac{AF}{FB}\times\dfrac{BD}{DC}\times\dfrac{CE}{EA}=1

なので,

12×32×CEEA=1\dfrac{1}{2}\times\dfrac{3}{2}\times\dfrac{CE}{EA}=1

よって,CEEA=43\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{4}{3},つまり CE:EA=4:3CE:EA=4:3 になります。

チェバの定理の証明の方針

このページでは,チェバの定理の3通りの証明を解説します。

  • 証明1:面積比による方法(有名)
  • 証明2:メネラウスの定理を用いる方法
  • 証明3:ベクトルによる方法(機械的に証明できる,計算が大変)

証明1. 面積比を用いる方法

有名なチェバの定理の証明です。

方針

線分比を面積比に変換します。よく用いられる手法です。

証明

チェバの定理の証明

三角形 APCAPC の面積を APC|APC| などと書きます。

黄色い三角形 APCAPC と青い三角形 BPCBPC は,底辺 PCPC が共通で高さの比が AF:FBAF:FB なので,

APC:BPC=AF:FB|APC|:|BPC|=AF:FB

つまり,AFFB=APCBPC\dfrac{AF}{FB}=\dfrac{|APC|}{|BPC|}

同様に,

BDDC=APBAPC,CEEA=BPCAPB\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{|APB|}{|APC|},\\\dfrac{CE}{EA}=\dfrac{|BPC|}{|APB|}

以上3つの式を辺々かけ合わせるとチェバの定理となる。

ちなみに,この証明方法の背景には,ベクトルの定番問題の公式(面積比)があります。三角形の中の点と3直線を見て連想できるとよいでしょう。

証明2. メネラウスの定理を用いる方法

メネラウスの定理を既知とした場合のチェバの定理の証明です。

方針

メネラウスの定理を用いてチェバの定理の左辺を作り出そう頑張ります。 比較的自然に以下の証明が思いつきます。

証明

メネラウスの定理より,

AFFB×BCCD×DPPA=1\dfrac{AF}{FB}\times\dfrac{BC}{CD}\times\dfrac{DP}{PA}=1

AEEC×BCBD×DPPA=1\dfrac{AE}{EC}\times\dfrac{BC}{BD}\times\dfrac{DP}{PA}=1

上の式 ÷÷ 下の式を計算すればチェバの定理となる。

証明3. ベクトルを用いる方法

計算がめんどうですが機械的にチェバの定理を証明できます。

方針

直線 BEBECFCF の交点を PP とおき,APAPBCBC の交点 DD が目標の比の式を満たしていることを証明します。これは同時にチェバの定理の逆の証明にもなっています。

チェバの定理の証明3

AFundefined=tABundefined,AEundefined=sACundefined\overrightarrow{AF}=t\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE}=s\overrightarrow{AC} とおく。

BDDC=s(1t)t(1s)\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{s(1-t)}{t(1-s)} となることを示せばチェバの定理が示される。

まずは BEBECFCF の交点 PP のベクトルを求める。

BEBE のベクトル方程式は,

APundefined=uABundefined+(1u)sACundefined\overrightarrow{AP}=u\overrightarrow{AB}+(1-u)s\overrightarrow{AC}

CFCF のベクトル方程式は,

APundefined=vACundefined+(1v)tABundefined\overrightarrow{AP}=v\overrightarrow{AC}+(1-v)t\overrightarrow{AB}

よって,

ABundefined,ACundefined\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} の係数を連立させて uu について解くと,

u=tst1stu=\dfrac{t-st}{1-st} となるので,

APundefined=tst1stABundefined+sst1stACundefined\overrightarrow{AP}=\dfrac{t-st}{1-st}\overrightarrow{AB}+\dfrac{s-st}{1-st}\overrightarrow{AC}

よって,係数の比が tst:sst=t(1s):s(1t)t-st:s-st=t(1-s):s(1-t) となるのでチェバの定理が示された。

チェバの定理の逆

チェバの定理の逆

三角形の各辺上の点 D,E,FD, E, F に対して

AFFB×BDDC×CEEA=1\dfrac{AF}{FB}\times\dfrac{BD}{DC}\times\dfrac{CE}{EA}=1

ならば AD,BE,CFAD, BE, CF は一点で交わる。

チェバの定理の逆は,数学オリンピックなどの難問で証明問題の道具として使われます。3つの直線が1点で交わることの証明に使われます。以下にチェバの定理の逆が使える4つの例を紹介します。

ベクトルは計算を省略しましたがそれでも長いです。初等幾何はひらめきが必要ですが美しいです。

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