三角形の面積比にまつわる公式たち

△ $ABP:$ △ $ACP=$ △ $ABD:$ △ $ACD=BD:CD$

△ $ABC:$ △ $ADE$

$=AB\cdot AC\cdot \sin\angle A:AD\cdot AE\cdot \sin\angle A\\=AB\cdot AC:AD\cdot AE$

$O$ を原点として以下のように座標を取る。

$A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2), C(x_3, y_3, z_3),$

$P(px_1, py_1, pz_1), Q(qx_2, qy_2, qz_2), R(rx_3, ry_3, rz_3)$

ただし，$p=\dfrac{OP}{OA}, q=\dfrac{OQ}{OB}, r=\dfrac{OR}{OC}$

ここで，サラスの公式より

四面体 $OPQR$ の体積 $=pqr \times$ 四面体 $OABC$ の体積

となり公式は示された。