Kiepertの定理とその証明

以下，二等辺三角形の底角を $\theta$ とし，三角形 $\mathrm{ABC}$ の面積を $|\mathrm{ABC}|$ などと表します。

Kiepertの定理を証明します。チェバの定理の逆を用います。

なお，この証明は三角形と円の幾何学という本を参照しています。この本は図形マニアにとてもオススメです。

以下，三角形 $\mathrm{ABC}$ は二等辺三角形でないとします（例えば $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ だと $\mathrm{A}=\mathrm{D}$ となることがあるのでそのような特殊ケースは除外したい）。

$\theta$ を動かすと，三直線の交点 $X$ も動きます。 $\theta$ を動かしたときに $\mathrm{X}$ が動く軌跡は直角双曲線になることが知られており，これを Kiepert hyperbola (キエペルト/キーペルト双曲線) と言います。

なお，軌跡が直角双曲線になることの証明については，

• 三線座標を用いた証明がThe Conics of Ludwig Kiepert:(外部PDF)にあります。
• 直交座標でも証明できると思うのですが，自分にはできませんでした（計算がゴツすぎて挫折しました）。直交座標で証明できた方はぜひ教えて下さい。

特定の $\theta$ の値について考えてみます。

・ $\theta=0^{\circ}$：重心

$D,E,F$ は各辺の中点になります。

・ $\theta\to 90^{\circ}$：垂心

めちゃくちゃ大きい二等辺三角形が三つあるのをイメージしてください。このとき，例えば $AD$ と $BC$ は（極限で）直交することが分かります。

・ $\theta=\pm 60^{\circ}$：フェルマー点

マイナスのときは二等辺三角形を内側に作ると解釈してください。 $\theta=60^{\circ}$ のとき，フェルマー点と一致します。→三角形のフェルマー点の3通りの証明

・ $\theta=\pm 30^{\circ}$：ナポレオン点

これも三角形の「中心」の一つとして有名な点です。

・ $\theta=-A$：頂点 $A$

Kiepert双曲線は三角形 $ABC$ の各頂点を通ることも分かります（$A$ が鋭角の場合と鈍角の場合で図が変わることに注意）。